多邊矩陣的塊轉置T 運算

羅 純， 郟君樂， 夏琪祺， 潘 翔， 馬萱航， 張應山

（1.上海應用技術大學 理學院， 上海200235；2.硅湖職業技術學院 校長室， 江蘇 昆山 215332；3.華東師范大學 經濟與管理學部， 上海200241）

為了查找具有固定特征再現性的數據，考慮對數據多種形式的可逆變換。在一般矩陣理論中，基本又簡單的一個工具就是矩陣的轉置運算?T。?T對應的英文是Transpose，即將矩陣沿對角線旋轉的含義。在多邊矩陣理論中推廣這個運算時，?T也成為了多邊矩陣理論的基本運算之一，稱為塊轉置T運算。在高維度張量矩陣中，可以得出的是，塊轉置T 運算相當于物理學中的張量指標轉置運算，只是這里的多邊矩陣交換運算比起張量的指標轉置運算要簡單。但多邊矩陣塊轉置T 運算，比起普通矩陣理論的塊轉置T 運算復雜得多，就是限制多邊矩陣到矩陣場合，與矩陣的轉置T 運算的含義仍是不同的概念。普通矩陣理論的轉置T 運算相當于把行列指標交換，因而對其運算的求逆運算比較簡單，而多邊矩陣的轉置T 運算，是對多個指標中的任意2 個指標轉置，甚至是對多邊矩陣相應的框架進行剖分，對剖面元素的任意2 個指標交換，相當于普通矩陣中的分塊轉置運算。對這種運算求逆運算非常困難。本文專門來研究這種運算和求逆運算的性質。

文獻[1]求證了剖面代數運算同構于多邊矩陣的基陣代數運算；文獻[2]給出了多邊矩陣剖面中的一些關系；文獻[3]介紹了多邊矩陣輪廓壓縮代數的概念，并引入了性質，從而一般矩陣半張量積的概念得到了推廣；文獻[4]研究了多邊矩陣的塊跡 Tr 運算和多邊矩陣普通乘法，及其多邊矩陣積Hadamard 的關系；文獻[5]研究了多邊矩陣的塊拉長 Te 運算，給岀了多邊矩陣的塊拉長運算的一些代數性質；文獻[6]研究了左半張量積在矩陣方程中的應用。文獻[7-12]研究的矩陣塊轉置方法，實際上是多邊矩陣塊轉置T運算規則的一個特例。本文把矩陣的塊轉置和分塊矩陣的元素塊轉置，包括各種置換后的塊轉置和元素塊轉置都統一了起來，并給出了它們之間的聯系，并證明了換位置換也是某種形式的塊轉置T運算。文獻[7-10]的換位置換矩陣也是多邊矩陣的換位矩陣的矩陣表示，并將這些運算用于半張量積運算。因為半張量積可以被認為是多邊矩陣交叉乘法的特例，將半張量積法對應的轉置法推廣到更通用的多邊矩陣塊拉長 Te運算規則，當然半張量積中的塊轉置的規則也適用。

首先定義了多邊矩陣的塊轉置 T運 算規則，并利用該規則將多邊矩陣的剖分、基陣代數運算這2個運算的規則結合起來，推導出我們需要的基本運算規則。為了更好的理解這些定理，本文不僅說明了普通矩陣轉置運算是多邊矩陣塊轉置T運算的一個特例，而且說明了其與多邊矩陣塊拉長 Te運算、多邊矩陣的塊跡 Tr運算關系密切。

1 多邊矩陣塊轉置T運算的定義和基本定理

矩陣分塊運算的直接推廣包括多邊矩陣的剖分運算。由于矩陣的分塊運算大部分情況下是任意的，所以多邊矩陣的剖面也會隨之任意。如果進行轉置 T運算的是多邊矩陣的某個剖面元素，那么將可以得到無數種轉置T運算形式。盡管這些運算從理論上講，都是可逆數據變換形式，但真正求其逆運算將是非常復雜的。先看一個例子。

例1.1考慮矩陣。按普通的矩陣理論，矩陣A的普通轉置運算非常簡單，就是把其矩陣的行列改變一下而已。矩陣A的轉置結果是

矩陣A的行向量a(i)變成了矩陣AT的列向量bi，而矩陣A的列向量aj變成了矩陣AT的行向量b(j)。對這種運算求逆運算也比較簡單，再次轉置即可。

現在，對矩陣A進行特殊分塊運算，使得分成的各個小塊矩陣的階數保持相同，那么可以將矩陣A分成如下分塊矩陣：

因其是階數相同的矩陣，可進行統一的轉置運算。如果對矩陣A的各個塊進行轉置，或者塊不動而將放列方式進行轉置，就得到許多形式的新矩陣。將這些操作求出一個統一的逆操作，不易辦到。本文給出一種相對簡單的逆操作方法。

先從最簡單的轉置考慮起。記t(A1)=由于這些轉置是對矩陣剖面的各個剖面元素的轉置運算，所以我們可以將每個剖面元素的轉置結果，仍然放在相應的位置上，就得到塊轉置T操作的一個結果，記成T(A)。譬 如

這是一個3×4階的矩陣。此矩陣與原來矩陣的關系比較復雜，但它可以揭示原來矩陣的不同剖面的數據信息。如果數據信息具有再現性，那么數據分析的結論就更加可靠。

通過推廣上述運算，即可得到多邊矩陣塊轉置運算的定義。

2 多邊矩陣塊轉置T的基本性質

3 各種塊轉置 Tij的關系

4 塊轉置T和 塊拉長T e、塊跡 Tr的關系

根據命題4.2 的記號Tr=(tr?IK)或T=(t?IK)=T11，對各項張量乘積的第一部分求總體跡tr或總體轉置t 后求和，這種運算和普通矩陣的相應運算基本沒有差別。

例4.1 轉置運算符號t?IK，t?t，IF ?t表示相應的轉置是關于多邊矩陣A的剖面表示式中的的張量乘積中的2 個部分中的哪一部分求總體轉置t后相加，這對于記住相應轉置運算的規則很有幫助。常用的運算符號是t?t=(t?IK)(IF ?t)=(IF ?t)(t?IK)和t?IK=(F，K)(IK ?t)K(F，K)T。總體轉置t 與t?t運算有關。

命題4.1 說明，多邊矩陣的塊轉置 T和 塊拉長Te 關系密切，其結論是總體拉長下面關系公式的推廣

或者說是矩陣的按行拉長Vec1和按列拉長Vec2的下面關系公式的推廣

這些公式也是常有的公式。總體拉長 te與運算te?te運算有關，也與矩陣的按行拉長Vec1和按列拉長Vec2的下面記號有關系Vec1=Vec1?Vec1，Vec2=Vec2?Vec2。

命題4.2 說明，多邊矩陣的塊轉置T和塊跡 Tr 關系密切，其結論是總體跡tr(A)=tr(AT)的性質的推廣。總體跡 tr與運算tr?tr 運算有關。

5 結 語

多邊矩陣的塊轉置T是非常重要的概念。基本定理和推論表明，多邊矩陣的各個部分之間存在著密切的關系，矩陣基本轉置 T運算的拓展表現為這6 條基本性質。另外，多邊矩陣的塊轉置T和塊拉長Te、塊跡 Tr關系密切；它還與總體轉置t、總體拉長te、總體跡 tr密切相關。總體拉長 te與運算te?te有關；總體跡 tr與運算tr?tr有關；總體轉置t與運算t?t有關。 塊轉置 Tij與符號t?IK=(F，K)(IK ?t)K(F，K)T有關，它基本上等價于塊轉置T運算。不同的運算僅在置換多邊矩陣上有所不同。這表明所有類型的塊轉置 Tij運算都是具有同構運算性質的可逆等價運算，相應的逆運算并不復雜，具有統一使用的置換公式，是解釋再現性問題的重要運算工具之一。