帶著“思考”從“操作”走向“推理”
——以《用尺規作等長線段》為例

文|丁志根

尺規作圖是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）新增的內容。尺規作圖在小學階段包括的內容主要有：用尺規作等長線段，用尺規作三角形，用尺規探索三角形的三邊關系。其中用尺規作等長線段是尺規教學的第一節課，如何通過這節課的教學幫助學生認識到尺規作圖的價值？筆者進行了相關實踐和研究。

【教學過程】

一、在自學中習得圓規的用法

師：課前我們已經自學了圓規的使用，請在紙上嘗試畫一個圓。誰來介紹一下怎樣畫好一個圓？

生：圓規是由兩腳和頂端圓柄組成的，兩只腳分別是針尖和筆尖，固定了針尖這只腳后，手捏住圓規頂端的圓柄旋轉一圈，就可以畫出一個圓。

生：在畫圓時，只要保證針尖的一端不變，圓規兩腳之間的距離不變，畫的圓就會很圓了。

師：有同學畫得不圓，想一想可能是什么原因？

生：可能是在畫圖的時候，針尖動了或者兩腳間的距離變了。

師：非常善于思考，畫圓時需要固定針尖，同時確保圓規兩腳間的距離不變，就可以把圓畫好，請同學們按照剛才的方法再規范地畫一個圓。

二、在情境中理解尺規的原理

師：學校正在組建田徑隊，其中要選拔一些拋實心球運動員，樂樂、明明和亮亮參加了選拔，請大家看看誰能進入學校田徑隊？

生1：我是直接測量的。先用直尺量出學校標準的距離，再分別量出樂樂、明明和亮亮拋實心球的距離，最后進行比較。

生2：我是借助毛線來比較的。把一跟毛線拉直后，先取與學校標準一樣長的一段，再用這段毛線分別與三位同學拋實心球的距離進行比較。

生3：我是用圓規來比的。張開圓規的兩只腳，使圓規兩腳間的距離正好等于學校的標準，再用調好距離的圓規分別去與三位同學的距離比較。

生4：我是用圓規畫弧來比的。先張開圓規的兩腳，使圓規兩腳間的距離正好等于學校標準，再用這個距離，以中心為圓心，畫一條弧。

師：如果把這四種方法分分類，可以怎樣分？標準是什么？

生：可以分成兩類，第一種方法為一類，后面三種方法為一類。分類的標準是看有沒有直接測量，第一種方法是通過直接測量進行比較的，后面三種方法是沒有進行測量，直接進行比較的。

師：后三種方法有什么相同之處？

生：這三種方法都用一個標準進行比較，方法二用毛線創造了這個標準，方法三和方法四都是用圓規創造了這個標準。

師：方法四憑什么畫了一條弧就能判斷出這些同學能否進入田徑隊呢？

生：因為圓弧是以學校標準畫的，從畫的圓弧可以看出三個同學的距離都超過了學校標準，所以都可以被選入學校田徑隊。

師：那你還能畫出與標準等長的線段嗎？能畫出多少條？

生：可以畫出無數條與標準等長的線段，只要在圓弧上選一點，把圓弧上的一點與圓的中心點連起來的線段都相等。

師：同學們真厲害，不僅幫學校選出了運動員，還發現了圓弧上的秘密，即圓弧上任意一點與圓的中心點的距離都相等。

三、在探索中掌握尺規的技能

師：請同學們嘗試用圓規和直尺畫出線段a 的等長線段。

出示活動建議：

1.先畫一條直線；

2.用圓規確定給定線段的長度；

3.在直線上確定兩個端點；

4.表示出等長的線段。

（通過“希沃”播放部分學生操作的過程）

師：仔細觀察這幾個同學操作的過程，你想到了什么？

生：畫的過程中，關鍵是圓規兩腳間的距離固定后就不能再變了。

生：我發現畫的過程就是找到兩個點，把它連起來。

師：說得真好，兩點確定一條直線，用尺規畫已知線段就是找到兩個點，連成線段。

四、在運用中感悟尺規的價值

師：你能用直尺和圓規畫出與下列三角形中線段AB 等長的線段嗎？

師：在運用尺規畫線段AB 的等長線段時，你積累了哪些經驗？

生：我發現在畫圖的過程中，圓規的作用是幫我們找到確定的長度，并固定下來，直尺的作用是把兩個點連接起來。

生：在畫圖時，圓規兩腳間的距離一定要保持不變。

師：林林喜歡彈萊雅琴，但①號琴弦要斷了，你能用圓規和直尺畫一條與①號琴弦等長的線段嗎？

師：在幫林林畫與琴弦等長的線段時，你有什么體會？

【課后反思】

從這節課的教學可以看出，在小學階段引入尺規作圖的內容，對于培養學生的幾何直觀、空間想象和推理意識都具有重要的意義。在尺規作圖的過程中，應該帶著“思考”從“操作”走向“推理”，促進學生核心素養的發展。

一、帶著“思考”開啟尺規作圖

小學階段的尺規作圖不完全等同于中學的尺規作圖，不是簡單地應用直尺和圓規畫圖形，不需要過多地強調作圖方法。在教學中，學生作出線段、三角形等，能夠幫助學生深層次的理解圖形的性質和相互關系。尺規作圖中直尺和圓規各有分工，直尺主要用來畫直線，圓規主要用來畫圖或畫弧線，這樣的操作過程幫助學生將原本抽象的圖形轉化為形象、可感知、具身參與的數學活動。比如在讓學生感受尺規作圖的功能時，教師創設了“幫學校挑選實心球運動員”的生活情境，極大地激發了學生的學習興趣，使學生樂于主動去探究。在探究過程中，教師設計了一個開放的問題“請大家看看誰能進入學校田徑隊”，問題的開放度決定了思維的寬度，學生想出了很多辦法，借助直尺和圓規畫弧是其中一種，教師借此引導學生深入的比較、分析，從而讓學生感受到在多種方法中用尺規畫圖的便捷、直觀。這樣讓學生帶著思考走入生活情境，把一個抽象的數學問題還原成活潑生動的過程，培養了學生的空間觀念和幾何直觀。

二、帶著“研究”探索尺規作圖

尺規作圖不僅是一項簡單的作圖任務，更重要的是它還作為一種感知幾何圖形、理解圖形性質、探索幾何規律的認知工具。在教學中需要給予每位學生動手做、動腦思、動嘴講的機會，讓每位學生經歷知識生長的過程和技能的形成過程，親歷研究的過程。本課首先通過微視頻，讓學生課前自主學習畫圓的過程，再通過課堂上實踐畫圖、交流畫圖的過程規范畫圓，讓每位學生都經歷了從不會畫圓到畫不圓，再到規范畫圓的過程；其次在引導學生探究尺規作已知線段的等長線段時，借助核心問題“怎樣把四種方法分分類？”“你還能畫出與標準等長的線段嗎？”引導每位學生體驗從特殊到一般，感受“兩點確定一條直線”的數學事實；最后在練習的過程中，通過追問“你積累了哪些經驗？”“你有什么體會？”引導每位學生規范表達畫圖背后的道理，有利于學生方法的結構化建構與學習的廣泛性遷移。

三、帶著“推理”深化尺規作圖

2022年版課標指出：“三會”是數學學科核心素養的具體體現，而其中“會用數學的思維思考現實世界”其實質就是數學推理，推理意識是發展學生核心素養的主要表現之一。本課教學中，教師多次引導學生經歷操作、觀察和分析的過程。比如在探究用尺規畫已知線段的等長線段時，教師先出示活動建議，為學生搭建學習支架，讓學生自主操作；在操作后，通過希沃播放學生的操作過程，還原了學生的思維過程；觀察后引導學生進行分析，從而體會到尺規作圖的原理。這樣，讓學生經歷了數學化的過程，學生通過幾何作圖的方法，在操作過程中形成對幾何圖形的感知，感受到兩點確定一條線段的意義；體會到用直尺可以確定直線，用圓規的兩點可以確定線段的長短；在練習中，再次引導學生對“兩點確定一條線段”進行思考，發展學生的推理意識。推理能力不是一蹴而就的，需要課堂上引導學生反復經歷操作、觀察和比較分析的過程，讓學生經歷從特殊到一般的數學化過程，以此培養學生的推理意識。