體驗度量過程 培養推理能力
——《面積單位的進率》素養進階習題展評與教學建議

文|俞 靜 周春萍

一、習題展評

●習題一

1.習題內容

2.能力指向

用密鋪操作的方法來驗證1平方分米=100 平方厘米，涉及面積度量方法和度量策略。通過用邊長1 厘米的正方形擺一擺，橫向、縱向分別可以擺幾個，計算推導出一共可以擺幾個，主要考查對面積意義的理解及正方形面積度量、計算方法，通過度量計算，將進率理解得更為透徹。

3.學情分析

對鄉鎮小學39 名學生進行了后測，數據顯示，第一題正確率只有38.5%左右，主要錯誤集中在以下四種情況：第一種，不理解面積需要密鋪的道理，僅僅理解為橫鋪個數與縱鋪個數相加。第二種，分米與厘米長度單位進率搞錯，導致計算出錯。第三種，除了進率出錯外，把面積和周長概念混淆，理解為一周鋪幾個。第四種，能計算推導，但畫圖有誤或不會畫。可以歸納為兩點：一是不理解測量正方形面積需要密鋪的道理，二是畫圖或計算有誤。

●習題二

1.習題內容

2.能力指向

借助1 平方分米、1 平方厘米單位標準量對常見的物體面積進行估計或對單位選用進行推理。檢測指向學生估量能力及面積單位的適用性推理。

3.學情分析

本題學生正確率也不高，其中第一小題正確率為53.8%，第二小題正確率為71.7%。兩小題全對的人數占比為50%左右。

典型錯誤第一小題第二小題images/BZ_34_983_490_1549_647.pngimages/BZ_34_983_659_1547_810.pngimages/BZ_34_985_827_1549_938.pngimages/BZ_34_984_949_1547_1098.pngimages/BZ_34_984_1110_1549_1263.png

第一小題部分學生不知道如何估量，欠缺估測方法，憑空猜想桌面的面積。也有些學生對于面積單位的進率掌握不佳，換算出錯。第二小題，對于平方分米還可以用來測量哪些物體表面的大小，部分學生在單位適用性推理上認知模糊，出現困難。

●習題三

1.習題內容

中國有特有的長度單位，如“尺”“丈”“寸”，我們知道1 丈＝10尺，1 米=3 尺，那么1 平方丈=（ ）平方尺，1 平方米=（ ）平方尺。

你能用今天學到的方法來推導一下嗎？請你把過程記錄下來。

2.能力指向

單位拓展，通過中國特有的單位“尺”“丈”“寸”之間的關系，考查學生應用方法遷移進行推導的能力。

3.學情分析

根據解答的正確性，有無推導過程，推導過程是否條理清晰等維度，對學生的作品劃分為四個水平層次，每個層級主要表現、學生典型作品和人數占比統計見下表1。

表1

數據顯示，水平0 的學生占了約15%，回訪發現這部分學生大多對1 平方丈的含義理解不到位，沒有遷移切換成邊長為1 丈的正方形的面積就是1 平方丈，導致解題中沒有思緒。處在水平1、2 的學生約占50%，說明近半學生有一定的解題思路，知道可以根據丈與尺、米與尺之間的關系，借助邊長乘邊長的方法計算面積，從而推導出面積單位之間的進率。但部分學生存在推理表達困難，推理過程不夠完整以及環節錯誤等。處于水平3 的學生占比35%左右，能夠應用方法進行遷移，正確推導，推理過程清晰。

二、教學建議

1.豐富度量過程體驗，感悟度量的本質，發展學生的度量意識和能力

從本質上來說，有了度量的實際需要，才有了度量標準和單位，用標準和單位進行測量，才有了最后的量值結果。在教學中要突出度量的過程，豐富體驗，使學生感悟度量的三個核心要素：度量對象、度量單位和度量值，體會度量的本質結構，形成一般的度量方法，以及靈活選擇和應用度量單位進行度量的策略，從而發展學生的度量意識和能力。比如，上述探索“1 平方分米=（ ）平方厘米”的問題，在面積單位進率教學起始階段，可以采用擺小正方形、畫格子等操作活動，拉長體驗的過程，在面積的密鋪中，真正理解10×10 的含義，得出面積單位間的進率關系，形成一定度量的方法，為進一步探究其他面積單位間的進率提供方法。

2.重視估量等問題解決，感悟推理的路徑，培養學生的推理意識和能力

教學中，可以圍繞生活情境設計估量問題，讓學生體會計量單位學習的價值和意義，提高應用能力。估量的基本方法是：先選擇一個標準，再用這個標準去估“量”，最后通過計算得到“量值”。事實上，這樣的活動便是一個嚴密的推理過程。因此，通過用估量的方法解決問題，可以引導學生經歷一個完整的推理路徑，結合語言表達、書寫表達等，從多層面訓練學生的邏輯系統，培養學生的推理能力。比如，“估計課桌面有多大”的問題，需要引導學生說出“用1 平方分米這個單位去擺，課桌長的一邊大約可以擺6 個，寬的一邊大約可以擺4 個，一共大約可以擺6×4=24（個），所以課桌面的面積大約是24 平方分米”。用1 平方厘米作單位去估也是同理，最后得出60×40=2400（平方厘米）。通過分析、說理活動，幫助學生積累推理活動經驗，同時也更深入理解面積單位間的關系，并能恰當選用合適的面積單位應用于生活實際。

3.關注方法遷移，感悟知識間內在聯系，培養學生的類推能力

《數學課程標準（2022年版）》指出，核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現。小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解。所以，在教學中強化學生具身體驗的同時，還要注重方法的提煉和經驗的積累，在應用中關注方法遷移，感悟知識間的內在聯系，培養學生的類推能力。比如，在探究完“1 平方分米=（ ）平方厘米”的基礎上可讓學生自主探究“1 平方米=（ ）平方分米或1平方米=（ ）平方厘米”。再如，上面第三個拓展練習，探索“1 平方丈=（ ）平方尺，1 平方米=（ ）平方尺”的問題等等。在探究這兩個中國特有的面積單位間的進率關系時，可以先引導學生理解“平方丈”和“平方尺”的意義，再應用前期積累的方法進行探究，感悟探究方法的一致性，培養學生的遷移類推能力。