基于案例教學的“線性代數”課程教學創新與研究

馮杰 楊慧 董連春

摘?要：“線性代數”在工程技術及國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用，為學生學好后續專業課程起到關鍵作用。但目前的《線性代數》教材內容以及教師教授過程，更側重于數學知識本身，而忽略了知識的實踐應用，使得學生在學習過程中感到枯燥乏味，從而導致學生對這門課失去興趣和學習動力，教學效果差。本文以講授矩陣特征值特征向量為例，首先在“線性代數”教學中融入課程思政元素，在傳授知識的同時立德樹人，增強學生的民族自豪感和認同感。同時通過案例分析的教學方法引出并講授所學知識點，反過來再用所學知識解決實際問題，從而幫助學生更好地理解掌握所學知識，調動學生學習的積極性，提高學生分析和解決問題的能力，最終達到提高課程教學質量和教學效果的目的。

關鍵詞：案例教學；課程思政；線性代數

“線性代數”屬于大學數學專業基礎課程，也是非數學類專業的學生參加碩士研究生“數學”考試的一門必考課程，其理論方法在工程技術與國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用。對于非數學專業學生的“線性代數”教學，教師應更側重于知識的應用實踐，減少理論證明。但目前的《線性代數》教材內容重點更多的是數學知識本身，例題習題圍繞理論知識展開，很少涉及對知識的應用。加之“線性代數”非常抽象，課時安排又少，每次課時間短內容多，常常讓學生感到枯燥難懂，學起來吃力，很快對這門課失去學習興趣和學習動力。而數學知識前后銜接很緊密，如果前面沒學懂，后面就更不懂了，于是進入惡性循環，導致整學期這門課也沒學到太多內容。

我們在“線性代數”的教學中融入相關知識點的課程思政元素，在傳授知識的同時立德樹人，增強學生的民族自豪感和認同感，激發學生的學習興趣，實現全方位育人的教學目標。對于相關的數學知識點教學，由實際應用案例引出，通過學習相關知識，反過來再解決實際問題。當學生最后用所學理論知識解決了實際問題后，學生能體會到很大的成就感。案例教學既有助于幫助學生更好地理解掌握所學知識，又能充分調動學生的學習積極性，提高學生分析和解決實際問題的能力，最終達到提高課程教學質量與教學效果的目的。下面我們以“線性代數”課程中的特征值與特征向量為例，展示如何在教學中融合課程思政內容和案例教學。

一、“線性代數”中特征值與特征向量的思政元素

中國科學院院士、中國工程院院士、哈爾濱工業大學劉永坦教授在20世紀80年代成功創建了我國第一部新體制遠距離雷達實驗系統，全面驗證了遠距離探測理論體系和方法，實現了我國對海探測能力的跨越式發展。新體制雷達可以遠距離探測海上目標的位置和方向，實現全天時、全天候、遠距離?？樟Ⅲw探測，是捍衛我國疆土的國防重器。由于突出的貢獻，劉永坦院士于2018年榮獲國家最高科學技術獎。

新體制雷達的工作原理涉及信號處理的各個領域，而在信號處理領域中，“線性代數”中矩陣的特征值和特征向量是一個非常重要而又基礎的知識點。沒有“線性代數”的內容作為基礎，是不可能學好信號處理這門專業課程的?！皹s獲國家最高科學技術獎是一種無上的光榮，這份殊榮不僅僅屬于我個人，更屬于我們的團隊，屬于這個偉大時代所有愛國奉獻的知識分子。”劉永坦院士的愛國奉獻情懷讓我們欽佩，頑強拼搏打造大國重器的精神值得我們每一個人學習。

課堂上，我們通過介紹劉永坦院士的事跡，不僅使學生認識到“矩陣的特征值和特征向量”這一基礎知識點的重要性，而且使學生堅定了好好學習文化知識，為中國特色社會主義事業努力奮斗開拓創新的信念。

二、“線性代數”中特征值與特征向量的教學設計

（一）教學內容及地位

教學內容：理解特征值與特征向量的定義，了解特征向量與差分方程之間的關系，會求方陣的特征值與特征向量。特征值與特征向量使我們了解由差分方程所描述的動力系統的長期行為或進化，如：

xk+1=Axk

此類方程可用來建立人口動態變化的數學模型以及生態問題的數學建模。事實上，很多的科學領域中都存在動力系統，因此這部分內容在實際生產生活中具有廣泛應用。

設計理念：首先提出動力系統中的案例——斑點貓頭鷹種群的動力學研究，引導學生思考如何建立相應的數學模型，然后通過學習矩陣特征值與特征向量來求解上述數學模型。最后讓學生思考數學模型的解最終反映到實際問題中代表了什么含義，以此實現理論聯系實際，將所學知識應用到社會實踐中的目標。

（二）學生知識結構分析

在學習這部分內容前，學生需要學習行列式的計算、矩陣的運算與初等行變換、線性方程組的求解。

（三）教學目標

知識與技能：理解特征值與特征向量的概念，了解特征向量與差分方程之間的關系，會求方陣的特征值與特征向量，掌握將矩陣對角化的方法，了解特征值與特征向量在離散動力系統中的應用。培養學生理論聯系實際，從實際問題中抽象出數學模型的能力以及動手實踐的能力。通過建立理論知識與社會實踐相結合的教學方式提高學生的學習動力和興趣。

過程與方法：從斑點貓頭鷹種群動力學研究案例出發，首先讓學生建立相應的數學模型，然后引出本節教學內容，最后利用所學知識解決前面建立的數學模型，最后根據所得結果解釋實際現象。從案例出發，引導學生主動思考如何解決實際問題，在探究的過程中獲取知識并發現“線性代數”在實際應用中的重要性。

情感態度與價值：以案例為引導，激發學生主動發現問題、探究問題、獲取知識、解決問題的能力，提高學生的學習興趣和動力。

（四）教學重點

求解矩陣的特征值和特征向量。

（五）教學難點

矩陣特征值與特征向量的求解。

（六）教學過程

1.知識回顧

復習利用初等行變換求矩陣的行列式以及線性方程組的求解。

2.案例引入

斑點貓頭鷹動力學。由于大面積森林亂砍濫伐導致斑點貓頭鷹的棲息地快速減少，環境保護學家試圖說服政府，如果不制止濫伐原始森林，貓頭鷹將瀕臨滅絕，而伐木行業卻說貓頭鷹不應該被劃定為“瀕臨滅絕動物”，因為對于伐木行業，如果政府出臺政策限制伐木，預計將失去上萬個工作崗位。

由此，生態學家開始對斑點貓頭鷹種群進行動力學研究。貓頭鷹的生命周期分為三個階段：幼年期（1歲以前）、半成年期（1～2歲）、成年期（2歲以后）。貓頭鷹在半成年期和成年期交配，開始生育繁殖。每一對貓頭鷹大約需要約1000公頃的土地作為棲息地，生命周期的關鍵期是當幼年貓頭鷹離開巢的時候，為生存進入半成年期，必須成功找到一個新的棲息地安家。問：如果按現在的速度采伐原始森林，貓頭鷹是否會滅絕？如果不想讓貓頭鷹滅絕，我們應該怎么做？

問題已經出現，現在開始引導學生思考如何解決該問題，那就需要建立貓頭鷹種群數量的變化過程。

第一步建立每年種群量的數學模型，時間k=0，1，2，…。通常假設在每個生命階段雌雄比例為1∶1，因此我們只計算雌性貓頭鷹，用xk=（ak，bk，ck）T表示第k年的種群量，其中ak，bk和ck分別表示雌性貓頭鷹在幼年期、半成年期和成年期的數量。

利用人口統計學的統計數據可知，第k年里的雌性貓頭鷹的平均生殖率是33%。依據目前貓頭鷹的生存環境可知，幼年雌性貓頭鷹只有18%的可能得以生存進入半成年期，半成年雌性貓頭鷹有71%能成功進入成年期，94%的成年雌性貓頭鷹能夠繼續生存下來進入下一年。

根據以上已有數據引導學生建立第k+1年和第k年貓頭鷹數量之間的關系模型。同學們首先想到的是下列方程組：

ak+1=0.33ckbk+1=0.18akck+1=0.71bk+0.94ck

根據矩陣的乘法，可以將上述方程組改寫成矩陣方程：

xk+1=ak+1bk+1ck+1=000.330.180000.710.94akbkck=Axk

其中A=000.330.180000.710.94。

上述數學模型實際是形式為：xk+1=Axk的差分方程，稱為離散線性動力系統，因為它描述的是系統隨時間推移的變化過程?，F在，問題轉化為求解上述差分方程。

在建立差分方程過程中，培養學生數學建模的能力，激發學生繼續學習的興趣和主動性，由此引出本節的教學內容。

3.特征值與特征向量

定義A為n階方陣，若存在數λ和非零向量x使Ax=λx，則稱λ為A的特征值，x稱為對應于λ的特征向量。

下面我們根據矩陣特征值與特征向量的定義構造差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解。

假設n階方陣A的一個特征向量為x0和它對應的特征值為λ0，令xk=λk0x0（k=1，2，…），則上式為差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解，因為Axk=A（λk0x0）=λk0（Ax0）=λk0（λ0x0）=λk+10x0=xk+1。

根據矩陣的運算規律可知，形如xk=λk0x0的解的線性組合仍是差分方程xk+1=Axk的解。

因此，我們的目標就是求矩陣的特征值以及對應特征向量。根據特征值與特征向量的定義可知，一旦知道數λ為矩陣A的特征值，對應特征向量即為矩陣方程（A－λI）x=0的非平凡解，即求解齊次線性方程組。同時為了使方程個數等于未知量個數的齊次線性方程組有非平凡解，充要條件是系數矩陣的行列式為零。因此可得求解特征值的方法：

定理：數λ為n階方陣A的特征值的充要條件是λ是特征方程det（A－λI）=0的根。

求解矩陣特征值與特征向量的一般步驟為：

（1）求特征方程det（A-λI）=0的所有根包括實根和復根，根據n階多項式理論可知，n階特征方程det（A-λI）=0必有n個根，記為λ1，λ2，…，λn。在求行列式det（A－λI）時，需要利用行列式的性質化簡行列式det（A－λI）為三角形行列式。

（2）對于每個特征值λi（i=1，…，n），求解矩陣方程（A-λiI）x=0的所有非平凡解為對應特征值λi的特征向量。

下面回到最開始的斑點貓頭鷹動力學研究。

第一步：求解矩陣A=000.330.180000.710.94的特征值。

解：

det（A－λI）=det000.330.180000.710.94－λ100010001

=det000.330.180000.710.94－λ000λ000λ

=det－λ00.330.18－λ000.710.94－λ

=－λ（－λ）（0.94－λ）+0.33·0.18·0.71

=－λ3+0.94λ2+0.042174

利用MATLAB軟件可計算方程det（A-λI）=-λ3+094λ2+0.042174=0的根的近似值為：

λ1=0.98，λ2=-0.02+0.21i，λ3=-0.02-0.21i為矩陣A的三個特征值。

第二步：求對應特征值的特征向量。

因為A有3個相異的特征值，故可求得對應的3個特征向量v1，v2，v3，因此差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的通解為：xk=c1（λ1）kv1+c2（λ2）kv2+c3（λ3）kv3。

若初始向量x0是實向量，由于A是實矩陣，因此差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解都是實向量。

第三步：探究k→時，xk的極限行為。

由于λ1<1，|λ2|2=|λ3|2=（-0.02）2+（0.21）2=00445<1，故（λ1）k→0，（λ2）k→0，（λ3）k→0（k→

因此，對任意的初始向量x0，當k→SymboleB@

時，xk趨于零向量。很不幸，該模型預測無論最開始斑點貓頭鷹數目有多少，最終都會全部滅亡。

引導學生思考：貓頭鷹還有希望嗎？我們需要做什么工作來改變現狀，使得貓頭鷹興旺起來。顯然，矩陣A在模型中起到決定性作用。如何改變矩陣中元素的取值來使得xk不趨于零向量呢？對應到實際問題，又代表了什么呢？帶著問題我們回到實際模型，矩陣A中的元素18%源于如下事實：盡管有60%的幼年貓頭鷹能夠活下來離巢去尋找新的棲息地，但其中僅有30%的貓頭鷹能活下來找到新的棲息地。森林中裸露地的面積使得貓頭鷹的搜尋工作更困難和更危險，這嚴重影響幼年貓頭鷹在尋找棲息地過程中的存活率。如果我們改變幼年貓頭鷹在尋找棲息地過程中存活下來的可能性，結果會怎樣呢？

例：設幼年貓頭鷹在尋找棲息地過程中的存活率為50%，即矩陣A中第二行第一列的元素為0.3而不是018，用這樣的矩陣模型預測貓頭鷹數量的發展趨勢。

解：重復上述步驟，此時矩陣A的特征值是：

λ1=1.01，λ2=-0.03+0.26i，λ3=-0.03-0.26i

對應于λ1的特征向量為v1=（10，3，31）T，對應于λ2，λ3的特征向量為v2，v3。此時，差分方程的通解為：

xk=c1（1.01）kv1+c2（λ2）kv2+c3（λ3）kv3

當k→時，（λ2）k→0，（λ3）k→0，因此xk越來越接近c1（1.01）kv1。此時，貓頭鷹數量的增長率為1.01，即貓頭鷹的數量會緩慢增長。同時特征向量v1展示了貓頭鷹在3個年齡段數量的比例：即每31只成年貓頭鷹對應大約10只幼年貓頭鷹和3只半成年貓頭鷹。

結論：若按目前森林亂砍濫伐的進度，貓頭鷹最終會滅絕，貓頭鷹是瀕臨滅絕動物，因此，政府要出臺伐木限制，保護森林，增加貓頭鷹的棲息地。由此，我們將矩陣的特征值與特征方程與離散動力系統聯系起來，加深了學生對基本理論知識的理解，同時提高學生應用所學知識解決實際問題的能力，從而激發了學生們的學習熱情和興趣。

4.鞏固練習

通過簡單習題練習矩陣特征值與特征向量的求解，并讓學生課下學習如何用數學軟件求解矩陣特征值與特征向量，探究其他應用案例，并在下節課展示。

結語

“線性代數”課程屬于抽象難懂的課程，但對于非數學專業學生后續學習專業知識又起到重要作用，因此如何在教學過程中提高學生的興趣和信心，提高教學效果是廣受大家關注的問題。本文將思政元素和案例教學融入“線性代數”教學中，在解決實際問題的過程中學習數學相關理論知識，讓同學們認識到“線性代數”課程應用廣泛，引導學生積極思考，激發學生學習的主動性，同時將知識傳授和立德樹人有機結合起來，實現全方位育人。

參考文獻：

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［3］馮霜，溫永川，李金權.案例教學在金融數學專業基礎課中的應用——以求解齊次線性方程組的教學為例［J］.科技風，2021（29）：1618+39.

基金項目：2020—2021年度中央民族大學校級教學改革立項項目“線性代數（工科民族實驗班）”

作者簡介：楊慧（1989—?），女，漢族，山東棗莊人，博士，中央民族大學理學院副教授，主要從事隨機過程研究。