探尋圖形本質 獲取解題方法

文／孫靚

圖形的旋轉是初中數學的重難點，也是考查的熱點。我們只有對教材例題進行深入分析，探尋圖形本質，才能合理利用模型快速切入問題，獲得解題思路。

原題呈現（蘇科版數學教材九年級下冊第60 頁例5）如圖1，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點F，點E在BD上，且

（1）∠1與∠2相等嗎？為什么？

（2）△ABE與△ACD是否相似？并說明理由。

圖1

【分析】在第（1）問中，根據已知條件，通過三邊成比例可證明△ABC∽△AED，得到∠BAC=∠EAD，等式兩邊同時減去公共角∠EAF，得∠1 與∠2 相等。在第（2）問中，對已知條件進行適當變形，再根據第（1）問結論證明兩個三角形相似。詳細解答過程見教材。

圖2

本題中所涉及的基本圖形是兩個相似的三角形繞著公共頂點旋轉形成。如圖2，在△ABC和△AED中，我們將點B和點E分別看作兩個三角形的左手，將點C和點D分別看作兩個三角形的右手，左手與左手相連，右手與右手相連。我們通常將此模型稱為“手拉手”模型，以此模型結構為基礎的問題可謂是琳瑯滿目，下面我們一起來看一看。

變式1如圖3，在△ABC與△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，連接BD、CE。

求證：（1）△ABC∽△ADE；（2）若AC∶BC=3∶4，求BD∶CE為多少？

圖3

【分析】（1）根據題目給的兩組角相等即可得相似；（2）根據（1）中相似可證△AEC∽△ADB，進而可求其相似比。

（1）證明：∵∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE，

∴△ABC∽△ADE。

（2）解：∵AC∶BC=3∶4，

設AC=3x，則BC=4x。

變式2【問題呈現】如圖4，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD、CE，求證：BD=CE。

圖4

圖5

【類比探究】如圖5，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、CE，請直接寫出的值。

【拓展提升】如圖6，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且，連接BD、CE。

圖6

【分析】問題呈現：證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；類比探究：證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；拓展提升：（1）先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；（2）在（1）的基礎上得出∠ACE=∠ABD，進而∠BFC=∠BAC，進一步得出結果。

解：【問題呈現】

∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°。

∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE。

∴∠BAD=∠CAE。

∴△BAD≌△CAE（SAS）。

∴BD=CE。

【類比探究】

【拓展提升】

（2）由（1）得△CAE∽△BAD。

“手拉手”模型是解決三角形全等或相似問題常用的模型。大家要多感受此類方法，遇到類似問題要多思考、多總結，長此以往才能達到“會一題，通一類”的效果。