數(shù)形結(jié)合，演繹函數(shù)精彩

文／何曉敏

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們常需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題。其中，當(dāng)遇到“函數(shù)”與“角”相結(jié)合的問(wèn)題時(shí)，我們?cè)撊绾握覍ね黄瓶?，讓運(yùn)算更簡(jiǎn)單呢？下面，我們不妨一起來(lái)探究相關(guān)內(nèi)容。

一、一次函數(shù)圖像中的“隱藏角”

例1已知直線l的表達(dá)式為y=x+4，則直線l與x軸的夾角是________。（說(shuō)明：我們把兩條直線相交形成的最小角稱為兩條直線的夾角）

圖1

【解析】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為A、B，易得A（-4，0）、B（0，4）。在Rt△ABO中，AO=BO=4，tan∠BAO=1，則∠BAO=45°，故直線l與x軸的夾角是45°。

【變式】已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第二、四象限，且與x軸的夾角是60°，求直線l的表達(dá)式。

圖2

【解析】畫出函數(shù)圖像，如圖2，在x軸上取點(diǎn)A（1，0），過(guò)A作x軸的垂線與直線l交于點(diǎn)B，構(gòu)造Rt△ABO。利用函數(shù)圖像中∠AOB=60°，可得，求出B（1，，從而求出直線l的表達(dá)式為

【歸納】在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與水平方向形成“隱藏角”（記為α）有特殊的意義，構(gòu)造直角三角形能找到該角與直線傾斜程度的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)|k|=tanα。

二、一次函數(shù)圖像變換中的“伴生角”

例2如圖3，已知一次函數(shù)y=-2x+4 的圖像與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，若將其繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

圖3

圖4

【變式1】將題干中“旋轉(zhuǎn)90°”改為“旋轉(zhuǎn)45°”，如圖5，求變換后的直線表達(dá)式。

圖5

【思路1】如圖6，過(guò)點(diǎn)B作已知直線的垂線，交變換后的直線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H。依題意△ABD為等腰直角三角形，易證△BDH≌△ABO，可求得BH=OA=2，HD=OB=4，則D（4，6），從而求得直線表達(dá)式為y=3x-6。

圖6

【思路2】如圖7，過(guò)點(diǎn)B作變換后直線的垂線段，垂足記為C。過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，與過(guò)點(diǎn)B的y軸的垂線相交于點(diǎn)F，構(gòu)造△BFC≌△CEA，再通過(guò)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由BF=CE、CF=AE，列出方程組從而解決問(wèn)題。

圖7

【歸納】作垂線構(gòu)造直角三角形，將角的大小轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)比值。比較上述兩種思路，顯然“過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的垂線”更為優(yōu)化簡(jiǎn)便。

【變式2】將題干中“旋轉(zhuǎn)90°”改為“旋轉(zhuǎn)θ，tanθ=3”，求變換后的表達(dá)式。

【解析】延用變式1 的思路，在點(diǎn)B處構(gòu)造直角（如圖8），易證△GKB∽△BOA。由tanθ可知，△GKB與△BOA相似比為3，則GK=3OB=12，BK=3OA=6，可得G（12，10），所求直線為y=x-2。

圖8

【歸納】從變式1到變式2，變化的僅是旋轉(zhuǎn)角的大小。解決問(wèn)題的方法均是過(guò)點(diǎn)作已知直線的垂線，構(gòu)造直角三角形，將角的信息轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，最終再轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)，從而突破難點(diǎn)。

三、其他函數(shù)圖像中的“生成角”

例3已知一次函數(shù)y=-2x+4的圖像與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B，且過(guò)點(diǎn)D（4，0）。在二次函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn)M，使∠BAM=∠BAO？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】先求出二次函數(shù)的表達(dá)式并畫出函數(shù)圖像（如圖9）。如果站在“交點(diǎn)”的立場(chǎng)來(lái)看待點(diǎn)M，它不僅是拋物線上的點(diǎn)，也是與直線AB夾角為定值的直線上一點(diǎn)。延用例2的思路可知，tan∠BAM=2，易求P（8，8），則直線AM表達(dá)式為再與二次函數(shù)y=聯(lián)立，求得交點(diǎn)

圖9

【變式】將上題中的“二次函數(shù)”改為反比例函數(shù)y=，試問(wèn)雙曲線上是否存在點(diǎn)M，使∠BAM=∠BAO？

【解析】函數(shù)背景變了，但解決問(wèn)題的方法一樣。畫出圖像（如圖10），不難發(fā)現(xiàn)M只能在直線落在第一象限的部分上，故求得M（3，）。

圖10

【歸納】關(guān)注交點(diǎn)的多重“身份”，不要被復(fù)雜的函數(shù)背景所迷惑。先利用角度求出它所在的直線，再聯(lián)立求交點(diǎn)，則會(huì)使運(yùn)算更簡(jiǎn)便。