考慮環境溫度影響的超級電容SOC加權融合估計方法 *

王 春，唐 滔，張永志

（1.四川輕化工大學機械工程學院，自貢 643000；2.重慶大學機械與運載工程學院，重慶 400044）

前言

超級電容作為電動汽車混合儲能系統的重要組成部分，其荷電狀態（state of charge，SOC）估計是車載電源管理系統的核心功能之一［1-4］。SOC 估計精度將影響整車能量管理策略，因此提高超級電容SOC估計精度的研究顯得十分必要［5］。

目前，SOC 估計方法分成4 類［6］：基于表征參數法、安時積分法、基于模型法和基于數據驅動法。其中基于模型法具有優秀的估計精度與魯棒性，故該方法廣泛應用在電動汽車的電源管理系統中［7］。其常用等效模型與狀態估計算法結合的方式進行SOC估計。然而SOC估計精度和魯棒性同時受狀態估計算法影響［8］，因此諸多學者研究了不同的濾波算法應用于SOC 估計中。如擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）算法［9］、自適應擴展卡爾曼濾波（adaptive extended Kalman filter，AEKF）算法［10］、無跡 卡 爾 曼 濾 波（unscented Kalman filter，UKF）算法［11］、自適應無跡卡爾曼濾波算法［12］、容積卡爾曼濾波［13］、粒子濾波算法［14］、H∞濾波算法［15］、非線性觀測器［16］和集員估計［17］等。

為解決上述估計方法對SOC估計精度提升困難的問題，許多學者提出了融合估計SOC 的方法。從事狀態估計研究的熊瑞博士提出一種基于H∞濾波估計的多模型概率融合估計［18］SOC方法。采用H∞濾波與3 種等效電路模型結合分別估計出SOC，然后基于貝葉斯定理加權融合輸出SOC的估計值。雖然該方法比基于H∞濾波的單個模型估計SOC 的準確性和魯棒性均有提升，但是缺少考慮溫度對SOC 估計精度的影響。之后，將上述方法應用到能量狀態的估計［19］，并驗證了不同溫度下的估計精度均有提高。緊接著，熊瑞博士等［20］發現模型的殘差均值和方差在不同的老化程度下存在某些關系，并依據這些關系融合模型。利用積分差分觀察器進行SOC和SOH 聯合估計，同樣通過貝葉斯概率理論進行權重分配融合3 種模型估計的狀態值。此外，為提高融合估計精度，王超團隊［21］提出了多模型融合估計方法。該方法是基于每個模型端電壓的估計誤差采用貝葉斯概率理論融合3 種模型的SOC 估計值，同時改進了自適應無跡卡爾曼濾波，使得融合估計的噪聲隨時間更新。比較融合前，該方法具有更好的SOC 估計精度和魯棒性。田野和宋凱［22］提出基于AEKF 算法的多模型融合估計SOC。條件概率分配SOC 融合的權重是以考慮電池溫度特性和倍率特性的兩種電池模型估計值與測量值殘差為依據。該方法能夠實現較高的SOC估計精度。文獻［23］中提出一種基于荷電狀態殘差的兩層融合模型，它是基于貝葉斯定理、殘差歸一化和SOC 碎片化分段融合，再基于均方根誤差決策融合模型的兩層融合方法。除了多模型融合，Fu 等［24］用貝葉斯概率融合兩種容積卡爾曼濾波器估計的SOC 值。實驗證明該方法常溫環境中能夠提高SOC 的估計精度。另外王榘等［25］提出了一種基于擴展卡爾曼濾波算法的多階段模型融合的SOC 與SOH 協同估計方法，該方法有較高的估計精度與魯棒性，并且考慮了溫度的影響。一方面融合多模型的SOC 估計值能提高估計精度，另一方面直接融合模型也能間接地提高SOC估計精度。

綜上所述，融合估計方法多是模型融合估計方法，并且少有考慮溫度對狀態估計的影響。針對這些問題，本文中提出了考慮溫度影響的超級電容SOC 加權融合估計方法。首先考慮了溫度的影響，把溫度參數作為變量，建立了超級電容的變溫模型；然后，基于Thevenin 模型采用3 種濾波算法融合估計SOC；最后，通過模擬對比分析了3 種加權融合方式融合估計SOC的誤差。

1 超級電容建模與參數辨識

1.1 超級電容建模

經過近幾年的發展，Thevenin 模型被廣泛地應用于基于模型的SOC 估計中，并且具有較高的模型精度和結構簡單的特點。因此本文中采用該模型作為超級電容的等效電路模型［26］。圖1 展示了Thevenin 模型電路結構，Uocv為理想電壓源的開路電壓，R0是描述超級電容的歐姆內阻，Rd為極化電阻，Cd為極化電容，iL和Ut分別是工作電路的端電流和端電壓。

圖1 Thevenin模型

Thevenin模型的狀態方程表達式：

式中：τ=Rd×Cd；k表示時刻；Δt是此刻與前一時刻的時間間隔。

1.2 超級電容實驗

為了構建變溫模型，需要獲取不同溫度下的超級電容特性實驗數據，搭建的實驗測試平臺主要是由ARBIN BT-5HC-5 V-100 A 測試系統、溫度箱和上位機組成。測試系統能對超級電容進行充放電，并能實時監測超級電容的電壓與電流。測試系統電壓和電流測量范圍分別是0～5 V 和-100～100 A。溫度箱能確保超級電容周圍環境溫度恒定，其溫度調節范圍是-40～100 ℃。上位機主要完成對測試系統的控制、收集和存儲實驗數據。實驗采用的是Maxwell 公司生產的1 500 F 超級電容器，主要技術參數在表1中展示。

表1 超級電容技術參數

實驗包括HPPC 測試和UDDS工況測試，并分別設置在-10、10、25和40 ℃ 4個恒溫環境下進行測試。整理不同溫度下HPPC 測試和UDDS 工況測試的實驗數據，為后續研究做好準備。圖2展示了HPPC測試和UDDS 測試實驗的電壓與電流曲線。由圖可見，隨著溫度升高超級電容靜置后的初始電壓越低。

圖2 HPPC和UDDS測試電流與電壓數據

1.3 溫度-SOC-OCV曲面擬合

超級電容的荷電狀態（SOC）用剩余容量與最大可用容量之比表示，表達式如下：

式中：Qt為超級電容當前剩余容量；Qmax為超級電容的可用容量。為了減少Qmax影響溫度-SOC-OCV 曲面擬合精度，從HPPC 實驗數據中獲取。超級電容SOC隨時間變化情況的計算公式如下：

式中：SOC0為SOC的初始值；η為充放電效率；iL為電流。若要通過計算機運算，則需要對上式進行離散化。通過k-1時刻獲得k時刻SOC的離散關系式：

理想條件下超級電容的SOC 與開路電壓（open circuit voltage，OCV）近似成線性關系，但是受多方面因素影響，曲線精度也將直接影響參數辨識和SOC估計精度。考慮到溫度對曲線的影響，建立溫度與SOC-OCV 三維響應曲面。處理4 個不同溫度環境下HPPC 測試的實驗數據，得到溫度-SOC-OCV 曲面方程。建立端電壓OCV 關于溫度和SOC 的二元多項式方程：

式中ai（T）是關于溫度的多項式系數。考慮溫度的多項式系數如表2 所示。函數在三維空間的響應曲面由圖3展示。

表2 多項式系數

圖3 溫度-SOC-OCV三維響應曲面

1.4 參數辨識與驗證

準確的模型參數對提高SOC 估計精度十分重要。為得到等效電路模型參數R0、Rd和Cd的值，采用粒子群優化算法（PSO）辨識。該算法在1995 年被Eberhart 博士和Kennedy 博士提出，依據鳥群捕食行為和捕食規律建立的算法。鳥群的個體與每個粒子一一對應，每個粒子通過自己對目標距離的判斷和群體共享的信息去改變自己當前位置與移動速度。隨時間推移，鳥群將聚集在目標附近，鳥群位置被視為優化目標的最優解。參數辨識的目標函數如下：

式中：fmin（R0，Rd，Cd，T）是需要優化的目標；Ut，k為k時刻的測量端電壓；Ut，k（R0，Rd，Cd，T）表示端電壓的估計值，R0、Rd、Cd是要辨識的參數，T是環境溫度。通過PSO 辨識得到圖4 中各溫度下模型參數辨識結果。

圖4 模型參數辨識結果

為更好反映辨識參數的準確性，使用UDDS 工況測試驗證Thevenin 模型精度。驗證時，為得到不同狀態的模型參數值，采用最近鄰點插值法建立溫度-SOC-參數響應關系。圖5 展示了UDDS 工況驗證下的模型端電壓誤差。在此工況下，溫度從-10到40 ℃的端電壓誤差最大絕對值分別是8.58、8.91、11.77 和8.91 mV。其最大值出現在環境溫度為25 ℃的第6 838 s，大多時刻的誤差保持在8 mV以內。它們的平均絕對值誤差分別為1.8、1.9、1.7和1.6 mV，也表明其誤差都保持在很低的水平。通過驗證分析，基于粒子群算法辨識的參數和Thevenin 模型可以非常精準的模擬超級電容充放電機理。在-10 到40 ℃范圍內非常高的精度，符合應用要求。

圖5 UDDS工況驗證下的端電壓誤差圖

2 狀態估計算法

狀態估計算法是實現SOC在線估計的重要組成部分，其中卡爾曼濾波算法被廣泛的應用在各個領域中。考慮到融合估計的機理，選擇相似的3 種卡爾曼濾波算法，分別是擴展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波和自適應擴展卡爾曼濾波。

2.1 擴展卡爾曼濾波

EKF被Stanley Schmidt最先提出，為解決非線性系統的實時估計問題。EKF 常用f（xk-1，uk-1）表示狀態方程函數，h（xk-1，uk-1）表示系統觀測方程函數，表達式如下：

式中：x是n維系統狀態向量；u是λ維的系統輸入向量；y表示m維的系統觀測值的輸出向量；ω為系統的白噪聲；v是系統的測量白噪聲。

在實際應用中，計算機只能處理離散的數據。為解決不能處理連續狀態系統的問題，連續的系統狀態方程通過泰勒展開式進行離散化處理。離散處理后的狀態方程如下：

2.2 自適應擴展卡爾曼濾波

為解決EKF 濾波算法噪聲協方差值固定不變導致估計穩定性較差的現象，引入噪聲協方差自動匹配的方法。噪聲協方差會隨濾波算法估計結果的變化進行更新，實現噪聲協方差的自適應過程，以此提高EKF 濾波算法的估計穩定性和精度。自適應擴展卡爾曼濾波算法在擴展卡爾曼濾波基礎上增加了自適應過程。

式中M為自適應窗口長度。

2.3 無跡卡爾曼濾波

EKF 和AEKF 對于強非線性系統的估計精度降低。S.Julier 等提出了一種適合強非線性系統的無跡卡爾曼濾波，其用無跡變換替代擴展卡爾曼濾波的濾波狀態與觀測方程。通過無跡變換得到估計值附近的點，這樣的點被稱為采樣點。然后求得這些采樣點的均值和協方差的特征，并與原統計特征相匹配，再進行采樣點的映射。該方法是基于概率統計得到的近似估計。其中UT 變換在無跡卡爾曼濾波當中是十分重要的，下面是UT變換的過程。

通過計算得出2n+1個采樣點：

然后計算每個采樣點的權值：

式中：ωm為計算均值的權值；ωc為計算協方差的權值；上標i為采樣點序號；n為狀態維度；λ為縮放比例，用來降低總的預測誤差，λ=α2(n+κ) -n，κ為待定系數，一般取κ=0 或3-n；α為控制采樣點分布狀態系數，取值區間為［0，1］；β為非負權系數（β≥0），取0或2，當β=2時，采樣點為高斯分布。

無跡卡爾曼濾波估計SOC的步驟如下。

最后進行時間尺度上的更新，k時刻的狀態輸出和協方差矩陣作為k+1 時刻的輸入，進行下一時刻的估計運算。

3 融合估計方法

基于等效電路模型的SOC估計方法在估計精度和魯棒性上都有很好的表現，然而通過濾波算法提高SOC 估計的精度卻很困難，因此SOC 融合估計方法被提出來。目前，融合結構分成3類［18-19］：集中式、分布式和混合式。其中混合式融合結構雖然比其他結構有更好的精度表現，但是其計算量大，結構復雜，不利于應用到電動汽車的狀態實時估計。不同的融合結構具有不同特點，普遍認為集中式融合優于分布式融合的性能，但是有研究表明分布式融合也存在優勢。熊瑞博士等［18］用分布式結構進行多模型融合估計SOC，并證明該方法的可行性。在此基礎上，本文中采用分布式結構進行SOC 融合估計。3種濾波算法分別估計超級電容的SOC，然后經過融合中心加權融合SOC估計值。融合中心采用模糊熵理論分配權值，并選用另外兩種分配權值的方法作對比。另外兩種方法分別是基于殘差歸一化的權值分配方法和基于自適應加權平均的權值分配方法。圖6為本文提出的SOC融合估計框架。

圖6 融合估計的框架

3.1 基于模糊熵加權融合估計SOC

基于模糊熵加權融合（fuzzy entropy weighted fusion，FEWF）估計SOC 的融合中心是依據1968 年Zadeh L A 提出的模糊熵理論加權。時至今日，模糊熵的理論在許多領域得到了廣泛的應用。模糊熵的計算公式［27］如下：

式中：SO?C(k)是第k時刻輸出的SOC 估計值；ωi（k）是第k時刻不同濾波器對應下的權值；SO?Ci(k)是第k時刻第i個濾波器估計的SOC 值，濾波器的個數為n。

3.2 基于殘差歸一化加權融合估計SOC

歸一化是將有量綱的數據轉變成無量綱數據的一種手段，并把數據映射到0～1 區間內。基于殘差歸一化加權融合（residual normalized weighted fusion，RNWF）是將SOC 估計值所對應的端電壓和實際的端電壓作差，得到此刻各個濾波器估計的殘差值，在不考慮其他因素的影響下，通過式（41）得到k時刻SOC估計值。式（42）是權值限定關系：

3.3 基于自適應加權融合估計SOC

自 適 應 加 權 融 合［28］（adaptive weighted fusion，AWF）常用于多傳感器信號處理。通過找出各自最優的加權因子，使得總的均方誤差最小。其權值滿足式（43）的要求，通過式（41）計算k時刻SOC估計值。

最小總均方誤差：

式中：ωi(k)為第k時刻的第i個濾波器的最優權值；ei（k）為第k時刻第i個濾波器估計的端電壓與實際端電壓的殘差值。

4 實驗與估計結果分析

為驗證融合估計算法能夠提高SOC 估計精度，實驗采用UDDS 工況測試數據模擬超級電容SOC 估計。該過程中模型參數采用最近鄰點插值，超級電容容量根據溫度通過線性插值法獲取。-10、10、25和40 ℃ 4個溫度下的仿真測試結果如圖7所示。圖中展示了基于模糊熵加權融合、基于自適應加權平均融合和基于殘差歸一化加權融合估計SOC的實時估計值與真實SOC 的誤差值，同時加入3 種卡爾曼濾波估計結果對比分析。為更加直觀對比各個方法的SOC 估計精度，采用最大絕對誤差（max absolute error，MAX）、平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）和 均 方 根 誤 差（root mean squared error，RMSE）為評判指標。各個誤差分別按照式（48）～式（50）計算，并通過表3展示了6種估計結果的誤差。

式中：i為樣本序列，共有N個；S?Ci和SOCreal，i分別為估計值與實際值。

溫度在-10、10、25 和40 ℃下，實驗得到不同估計方法的SOC 估計結果和估計誤差，如圖7 所示。通過圖7中（a）、（c）、（e）和（g）可知，各方法均能實時準確地估計SOC的值。為更加準確地分析各個方法估計SOC的精度，觀察圖7中（b）、（d）、（f）和（h）的誤差變化可以發現，UKF 算法估計精度更容易受到SOC 影響，EKF 和AEKF 算法估計誤差變化趨勢相近。對比EKF 和AEKF 算法估計SOC 誤差變化，UKF 算法估計誤差曲線局部向縱坐標負方向移動，并隨溫度的上升變化越顯著。為了定量分析圖7 的SOC 估計結果，表3 給出了各個估計方法在上述給定的溫度下在UDDS 工況中的SOC 估計值與真實值的MAX、MAE 和RMSE。UKF 算法估計最大絕對誤差在不同溫度均大于EKF 和AEKF 算法。-10 和10 ℃時，AEKF 比EKF 和UKF 算法估計最大絕對誤差更小；25和40 ℃下EKF算法估計最大絕對誤差更小。以MAE 和RMSE 做比較時，EKF、UKF 和AEKF算法估計精度在不同溫度下的表現不同。由此可見各卡爾曼濾波算法估計SOC各有優勢。

表3 SOC誤差分析

圖7 UDDS工況不同溫度下超級電容SOC估計值與誤差圖

觀察圖7，3 種濾波算法加權融合估計SOC 的誤差曲線向0趨近，在4個不同溫度下SOC估計精度均有不小的提升。為更加直觀地體現各個融合方法估計SOC 精度的提升，選擇3 種單一濾波估計SOC 中對應評判指標下誤差最小的作為對比。通過表3 分析：以MAE為依據，基于模糊熵加權融合估計SOC的精度在-10、10、25 和40 ℃分別提升了0.9%、0.5%、2.0%和6.9%；以RMSE為評判指標，誤差降低了2.9%、6.2%、5.7%和14.2%；基于模糊熵加權融合估計SOC 的MAX僅在-10 和25 ℃時最小。基于殘差歸一化加權與自適應加權融合估計以MAE為評判標準，基于自適應加權融合估計SOC 的精度僅在25 ℃時提升了4.9%。基于殘差歸一化加權融合估計SOC 在溫度為-10、25 和40 ℃時精度得到了提升，與對應溫度下精度最高的單一濾波估計對比至少提升了0.3%、3.7%和1.9%。在用RMSE作為評價依據時，基于自適應加權融合估計方法在4 個環境溫度下的SOC估計精度對比相應溫度下精度最高的單一濾波估計精度分別提升了2.4%、5.8%、6.8%和7.9%，基于殘差歸一化加權融合估計SOC的均方根誤差降低了2.6%、5.8%、6.3%和10.4%。用MAX比較時，對比相應溫度下精度最高的單一濾波估計只有在25 ℃時有提升，卻沒有基于模糊熵加權融合估計提升明顯。從上述比對數據比較得出，作為對比的兩種融合方法在25 ℃溫度下SOC 估計提升效果均比模糊熵加權融合方法更好，然而其他環境溫度下提升力度不如基于模糊熵加權融合估計SOC 方法，并且基于自適應加權融合估計方法在以MAE做評價時出現估計精度下降的現象。對比上述兩種融合估計方法，基于模糊熵加權融合估計在提升SOC估計精度上有顯著的效果。

5 結論

本文中提出的基于變溫模型加權融合估計SOC方法能進一步提高SOC估計的準確性。該方法是通過加權融合3 種卡爾曼濾波估計的SOC 值，根據測量端電壓與估計端電壓的殘差利用模糊熵公式分配權值。實驗仿真證明了該方法能提高SOC估計的精度與穩定性，得出如下3個結論：

（1）基于模糊熵加權融合估計SOC 方法應用于變溫模型中的SOC 估計精度得到了提高，同時在不同溫度下都有很好的表現。

（2）高溫（40 ℃）環境中，基于模糊熵加權融合估計SOC 方法對SOC 估計精度提升更加明顯，以均方根誤差評定指標，對比UKF 濾波算法SOC 估計精度提升至高到14.2%。

（3）3 種融合估計方法對SOC 的估計精度均有提升。但是綜合比較三者，基于模糊熵加權融合估計SOC精度提升效果更為顯著。