把握整體 注重關聯 突出本質

【摘 要】數學教學中，教師要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學體系。以二次函數的教學為例，教師可從“坐標的數值變化”與“圖形的位置變化”的關系著手，引導學生認識二次函數圖象的左右平移規律，明確研究的路徑與研究方法，注重與前后所學知識的結構關聯，強化學生對二次函數本質的理解。

【關鍵詞】初中數學；整體關聯；數學本質；二次函數圖象

【中圖分類號】G633.6 "【文獻標志碼】A "【文章編號】1005-6009（2023）42-0039-04

【作者簡介】張鋒，江蘇省無錫市梅梁中學（江蘇無錫，214092）黨支部書記、校長，高級教師，江蘇省數學特級教師。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中指出：為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯；在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學體系。一方面要了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖，另一方面強化對數學本質的理解，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立有意義的知識結構。

在以課時為單位的教學中，教師比較關注局部知識和技能的獲得，忽視了數學知識內在的本質聯系，忽略了數學學習和研究方法的一致性，導致學生對知識的發展過程缺乏整體感知，不能正確理解數學的本質。如何整體把握教學內容，突出數學本質，發展學生的核心素養？下面，筆者以蘇科版初中數學九年級下冊《二次函數的圖象和性質》的教學為例，談談如何在教學中注重知識之間關聯，引導學生關注數學本質。

一、基本情況分析

1.教材分析

蘇科版教材中關于二次函數的圖象與性質的內容是按從簡單到復雜、從特殊到一般的順序安排的，其中數形結合的思想貫穿整個過程。本節課主要研究函數y=ax2與y=ax2+k、y=a（x+h）2圖象之間的關系，引導學生學會從函數表達式、函數對應值表、圖象三個角度認識二次函數的左右、上下平移，用運動變化的視角，從“坐標的數值變化”與“圖形的位置變化”的關系著手，探索二次函數y=ax2+k、y=a（x+h）2的圖象與二次函數y=ax2的圖象之間的關系。

2.學情分析

授課班級的教師對該單元內容已進行了重組：學生已學習二次函數y=ax2+k與y=ax2的圖象之間的關系，知道了二次函數y=ax2+k的圖象特征及性質，已初步體會研究二次函數圖象和性質的一些基本方法和數形結合思想，會通過上下平移的方法解釋二次函數y=ax2+k的圖象與y=ax2的圖象的位置關系，對于“坐標的數值變化”引起“圖形的位置變化”有初步的直觀感受。

二、備課環節思考

本節課的教學中，筆者分別從數和形兩個角度進行對比，幫助學生理解自變量x“左加右減”的本質，為此，筆者在備課時主要思考如下。

一是明確研究的路徑。從函數表達式、函數對應值表、圖象三個角度認識二次函數圖象的左右平移，從函數圖象上下平移的認識遷移到對左右平移的認識，多維度理解函數圖象的平移。二是明確研究的方法。類比上下平移的特征，學生可知左右平移的特征是縱坐標不變，教師可帶領學生觀察橫坐標的變化，取同一函數值y，由表達式求出相應的x的值，觀察其大小關系，再在坐標系中找出對應點的位置關系，從而得出平移的規律。

三、教學過程

1.課前熱身

師：請大家做一做這道習題“函數y=-x2+2的圖象是一條開口_____的_______，頂點坐標是______，對稱軸是______，可由函數y=-x2的圖象向____平移___個單位長度得到。”在解題過程中，如何繪制這個二次函數的圖象？

生：可用列表、描點、連線來畫圖象；也可以先畫出y=-x2的圖象，再向上平移2個單位。

師：同學們的思路非常好！上節課我們研究了哪一類二次函數？這類函數圖象與y=ax2（a≠0）的圖象之間有什么關系？

生：研究了函數y=ax2+k（a≠0），它是由函數y=ax2（a≠0）沿y軸上下平移得到。

【設計意圖】課前熱身環節引入一道練習題，既幫助學生回顧二次函數y=ax2+k的圖象與性質，又可以了解學生的思維結構，回顧上一節課中已學過的研究二次函數圖象的路徑與方法，為本節課學習提供思路和鋪墊。

2.探究新知

師：請大家思考三個問題。（1）函數圖象的平移，除了上下平移，還可以是？（2）接下來你準備研究哪一種形式的二次函數？為什么？（3）根據你的已有經驗，你打算如何進行研究？

生：二次函數圖象除了上下平移外，還可以左右平移；接下來，我們可以研究y=（x+1）2、y=（x-1）2、y=（x+3）2等函數，可以通過畫圖或列表計算的方法進行研究。

師：非常好，同學們通過類比、猜想的數學方法，提出了y=（x+1）2、y=（x-1）2、y=（x+3）2等函數，我們可以概括為y=a（x+h）2。在研究這類二次函數時，可依舊采用畫函數圖象的通法——列表、描點，畫出函數的圖象，再觀察其位置關系；還可以從函數表達式入手，抓住左右平移“縱坐標不變”的特征，對同一函數值y，可求出相應的自變量x，再觀察由此引起的位置變化。下面，請大家以特殊函數y=x2和y=（x+1）2為對象，展開探究，完成以下問題。為了方便區分，將兩個函數分別記為：y1=x12和y2=（x2+1）2。

（1）從表達式上看：由函數左右平移特征可知，y1=y2時，自變量x1、x2之間的數量關系為： " " " " " " " " " " " " " " " 。（可填：x1=x2+1或x1=-x2-1）

（2）從函數對應值看：如下表，當兩個函數值相等時，自變量x2比x1 " " " " " （填“大”或“小”）1個單位長度，即函數y2圖象上的每個點是由函數y1圖象上的對應點向左平移1單位長度所得。

[x1 … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y1=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 … x2 … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 … y2＝（x+1）2 … 16 9 4 1 0 1 4 … ]

（3）從圖象上看：函數y2=（x+1）2的圖象是由函數y1=x2的圖象向左平移1個單位長度得到的。現在你能得出函數y2=（x+1）2的圖象的性質嗎？函數y=（x-1）2的圖象和y=x2的圖象的位置有何關系？函數y=（x-1）2的圖象有哪些性質？

【設計意圖】教學伊始，筆者設置了三個問題，引出本節課的研究內容——二次函數的左右平移。自然承接上一節內容，體現了知識的延續和關聯性，引導學生關注知識的完整結構。為了讓學生體會二次函數圖象表達式“數值變化”所引發的“位置變化”，筆者設計了讓學生易于發現函數值相同的兩個函數自變量之間“平移關系”的表格，也可以設置成如下錯位的表格，讓學生感受自變量的“平移”。

[x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y＝（x+1）2 … 9 4 1 0 1 4 9 … ]

把表格設計成錯位的形式，可引導學生展開觀察和思考活動，發現函數值相等的兩個函數自變量之間的關系，從中感受函數圖象的“平移”的關系，從不同角度理解自變量x“加、減”的本質，與初一所學內容數軸上點的平移具有一致性的結論。

3.概括結論

思考：（1）根據自己的探究過程，請在組內交流一下，你發現了什么？現在是否可以得到一般的函數y=a（x+h）2的圖象與函數y=ax2的圖象的關系？（2）函數y=a（x+h）2的圖象有什么性質？

【設計意圖】學生通過相互交流、補充，逐步完善函數y=a（x+h）2的性質，對函數的認識也更深入，更好地理解了二次函數的本質。在學習過程中，學生知道了二次函數的增減性、開口方向和最大（小）值要分agt;0和alt;0兩種情況來討論，再根據圖象總結性質，突出“數形結合”的思想。

4.例題解析

例題：請說出函數y=-2（x-3）2的圖象與y=-2x2圖象之間的位置關系，并畫出其圖象。

追問：函數y=-2（x-3）2的圖象是否可以由y=-2（x+1）2的圖象平移得到？

反思：對于形狀相同的拋物線，如何快速進行平移？

【設計意圖】設計本例的目的，是讓學生直接運用剛才得出的平移結論，讓學生進一步理解：研究形狀相同的二次函數圖象之間的位置關系，抓住核心——拋物線的頂點，即可快速確定如何平移。

5. 課堂小結

（1）本節課，我們學習了哪些知識？學習過程中用到了哪些方法？

（2）根據研究二次函數的思路，你覺得接下來要研究什么？如何進行研究？

四、教學反思

1.整體把握教學內容，理解數學知識本質

初中階段學生對函數的學習雖有階段性的差異和發展，但內容上具有整體性，邏輯上具有連貫性，思想上具備一致性，方法上具有普適性，思維上具有系統性。

二次函數的研究是蘇科版教材中函數的收尾部分，數形結合思想貫穿函數研究過程的始終。本節課的教學中，筆者結合一次函數的學習方法，整體把握二次函數的本質和圖象與性質主題的學習特點，引導學生理解二次函數y=ax2、y=ax2+k與y=a（x+h）2的本質，建構起二次函數主題下的數學知識體系，形成科學的思維習慣，發展核心素養。

2.經歷完整探究過程，培養學生整體思維

教師在設計時，要讓學生經歷完整的結構化的探究過程：從觀察、操作、實驗、歸納中獲得猜想進而證明，從問題的發現、提出，再到問題的分析、解決，從數學情境的創設到數學模型的建立，再從求解模型到最后驗證模型。這樣，學生在經歷完整的獲得數學結論的過程中，不斷發展數學思維能力，積累數學探究的活動經驗，增強數學思維的整體性，提高數學核心素養。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］孫曉天，沈杰.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀：初中數學［M］.北京：教育科學出版社，2022.