轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：轉(zhuǎn)化思想主要是對(duì)解決問(wèn)題的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，促使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)相似或者相近的方式進(jìn)行解答.在初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)教師可依據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容，將概念抽象、內(nèi)容復(fù)雜的數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單、易解決的問(wèn)題，深化學(xué)生理解問(wèn)題的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)解題效率的提升.本文對(duì)轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探究，并提出一些有效的轉(zhuǎn)化策略.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；解題教學(xué)；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632" "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" "文章編號(hào)：1008-0333（2023）11-0011-03

收稿日期：2023-01-15

作者簡(jiǎn)介：張雙喜（1991.3-），男，江蘇省灌云縣人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

新課程理念下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)也要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)，提高學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)和理解能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).轉(zhuǎn)化思想通常指學(xué)生把一類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化的方式促進(jìn)解題思路的明確，運(yùn)用熟悉的思路和方法解決問(wèn)題.初中數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的靈活使用，通常能夠使學(xué)生將其原先無(wú)法解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成熟悉的問(wèn)題，探索新的解題線索，在實(shí)現(xiàn)高效解題的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想意識(shí).

1 轉(zhuǎn)化思想概述

數(shù)學(xué)學(xué)科由于自身的特點(diǎn)表現(xiàn)出非常強(qiáng)的邏輯關(guān)系，推理論證要環(huán)環(huán)相扣.為此，解題時(shí)需要結(jié)合數(shù)學(xué)已有的知識(shí)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)數(shù)學(xué)方法將其變形，成為易于分析和解決的問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)化的方式，又被稱(chēng)作為轉(zhuǎn)化思想.同時(shí)，轉(zhuǎn)化的本質(zhì)則是對(duì)問(wèn)題之間存有的聯(lián)系進(jìn)行揭示，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，除了較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題外，大多數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的有效解答[1].因此，轉(zhuǎn)化思想作為問(wèn)題解決的主要思想，其解題的過(guò)程通常就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程.在數(shù)學(xué)解題中，教師就需注重轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，如間接轉(zhuǎn)化、類(lèi)比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等都是轉(zhuǎn)化思想的表現(xiàn)，因地制宜引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)試題的特點(diǎn)和規(guī)律，采用適合的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將未知、抽象和復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知、簡(jiǎn)單和具體的一個(gè)或幾個(gè)問(wèn)題，這樣，學(xué)生就能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題與已有知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法有效解決問(wèn)題.

2 轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 間接轉(zhuǎn)化，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

間接轉(zhuǎn)化的運(yùn)用主要是對(duì)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決，較為常見(jiàn)的有換元法，在幾何圖當(dāng)中畫(huà)反推或輔助線，或設(shè)未知數(shù)x，都屬于間接的轉(zhuǎn)化形式[2].初中階段的學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答中，通常會(huì)出現(xiàn)無(wú)法解決的情況.數(shù)學(xué)間接轉(zhuǎn)化也可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體分解成不同的小問(wèn)題，其主要目的就是對(duì)綜合性數(shù)學(xué)題的解答中，通過(guò)加減乘除的運(yùn)算以及因式分解，把繁多條件的幾何問(wèn)題實(shí)施相應(yīng)的分解轉(zhuǎn)化.經(jīng)過(guò)該方式，不僅能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目的簡(jiǎn)化，而且還能實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.通常來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教材當(dāng)中有許多復(fù)雜的題型，主要是多種題型堆疊、變形、交互形成的.初中生在對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答中，通常會(huì)遇到題型比較復(fù)雜數(shù)學(xué)題，這就會(huì)使學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)相應(yīng)的抵觸情緒，認(rèn)為自己無(wú)法解答相關(guān)數(shù)學(xué)題[3].面對(duì)這種狀況，數(shù)學(xué)教師就需注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想實(shí)施解題，并讓學(xué)生以平和的心態(tài)面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行仔細(xì)閱讀，對(duì)數(shù)學(xué)題當(dāng)中的意志條件進(jìn)行認(rèn)真分析，并通過(guò)轉(zhuǎn)化思想實(shí)施解題，從而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)題實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單化.例如，求方程xx-12-5xx-1-6=0的解.對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，開(kāi)平方以后，問(wèn)題會(huì)變得異常復(fù)雜，因此可以觀察方程，令t=xx-1，則原方程轉(zhuǎn)化為t2-5t-6=0，即（t+1）（t-6）=0，t=-1，或t=6，將其帶入xx-1，可得，x=12，或x=65.通過(guò)這種方式，有效降低可數(shù)學(xué)題的復(fù)雜度，而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題的分析，而且還能使學(xué)生解題的自信心得到有效提高.

2.2 類(lèi)比轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀

初中數(shù)學(xué)解題中，可把分?jǐn)?shù)加減乘除各種運(yùn)算轉(zhuǎn)化成分式加減乘除的運(yùn)算，該過(guò)程中，需注重運(yùn)算符號(hào)的先后順序，并間接性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)類(lèi)比轉(zhuǎn)化，促使抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)化為形象內(nèi)容，以發(fā)現(xiàn)其相同與不同的點(diǎn)，確保解題的正確性.初中階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題與小學(xué)階段相比，其明顯的不同是問(wèn)題越來(lái)越抽象，面對(duì)剛步入初中的學(xué)生而言，其通常無(wú)法有效適應(yīng)數(shù)學(xué)題的解答.基于此，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)時(shí)，就需注重指導(dǎo)學(xué)生把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)變成直觀問(wèn)題，以幫助學(xué)生更好地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.使數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，其不僅有助于學(xué)生解決初中階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且還能使學(xué)生無(wú)法解答的抽象問(wèn)題實(shí)現(xiàn)具象化、直觀化，從而使學(xué)生更好地理解與解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并使學(xué)生自身的轉(zhuǎn)化思維、邏輯思維及其應(yīng)用能力得到有效增強(qiáng)，最終促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的解題能力提高[4].例如，已知，m2+6m-3=0，n2+6n-3=0，其中m≠n，求：mn+3m+3n的值.就初中生而言，本題的求解極其抽象，學(xué)生無(wú)法在題目當(dāng)中找出具體的解題思路.通過(guò)觀察方程的形式，其類(lèi)似一元二次方程，并且m≠n，則可以類(lèi)比一元二次方程x2+6x-3=0的兩個(gè)根，然后依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：m+n=-6，mn=-3，則mn+3m+3n=mn+3（m+n）=-21.這樣，就把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)類(lèi)比轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，使學(xué)生形象地理解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用已經(jīng)掌握的知識(shí)和方法解決問(wèn)題，從而得出正確答案.

2.3 數(shù)形轉(zhuǎn)化，數(shù)與形互助

數(shù)形轉(zhuǎn)化屬于較為常見(jiàn)的一種轉(zhuǎn)化方式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需結(jié)合問(wèn)題條件，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，通過(guò)數(shù)形來(lái)更好地體現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)，為學(xué)生解題提供思路，就是數(shù)形轉(zhuǎn)化.數(shù)形轉(zhuǎn)化包含以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面，主要是在具體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)或問(wèn)題分析中，以數(shù)學(xué)問(wèn)題作為出發(fā)點(diǎn)，明確數(shù)學(xué)題目中所隱藏的數(shù)量關(guān)系，借助“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜、抽象的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，進(jìn)而使得初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)直觀、形象地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前.數(shù)形轉(zhuǎn)化能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律，體現(xiàn)出“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，能夠避免大量的分析和計(jì)算過(guò)程，提高解題效率.例如，小明一共有500元錢(qián)，已知故事書(shū)的價(jià)格是60元每本，漫畫(huà)書(shū)的價(jià)格是70元每本，小明計(jì)劃用500元錢(qián)買(mǎi)故事書(shū)和漫畫(huà)書(shū)，其中故事書(shū)不少于3本，漫畫(huà)書(shū)不少于2本，那么，小明一共可以有多少種購(gòu)買(mǎi)方式可以選擇？如果學(xué)生用枚舉法，過(guò)程復(fù)雜，也容易發(fā)生遺漏，而通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化，將代數(shù)問(wèn)題化為圖形，順利得出結(jié)果.

設(shè)小明購(gòu)買(mǎi)故事書(shū)x本，購(gòu)買(mǎi)漫畫(huà)書(shū)y本，則60x+70y≤500，（3≤x，2≤y），因此，可以在直角坐標(biāo)系中作出x=3，y=2，y=-67x+507圖像（如圖1所示），三條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（6，2）、B（3，32/7）、C（3，2），則符合條件的組合就是三角形ABC內(nèi)的整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)，通過(guò)圖形可以直接得出（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（5，2）、（6，2），因此符合條件的組合一共有7種.通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化，將學(xué)生的購(gòu)買(mǎi)方式以坐標(biāo)的形式呈現(xiàn)，降低了復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，提高了解題效率.

2.4 直接轉(zhuǎn)化，化具體現(xiàn)象為數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下，教師在開(kāi)展課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化意識(shí)[5].借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程.可以說(shuō)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)科與實(shí)際生活之間的紐帶，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的關(guān)鍵途徑.因此，初中數(shù)學(xué)教師必須要在課堂教學(xué)中適當(dāng)融入實(shí)際生活問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決問(wèn)題，最終在學(xué)習(xí)中促進(jìn)數(shù)學(xué)探究能力的提升.例如，在《勾股定律》的教學(xué)中，教師在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化時(shí)，給學(xué)生融入了實(shí)際性的生活問(wèn)題，某一個(gè)冷飲店中設(shè)計(jì)了一種飲料杯子，杯子呈圓柱性，內(nèi)部地面的直徑為5 cm，高為12 cm，當(dāng)吸管放進(jìn)杯中，吸管傾斜，頂端則會(huì)抵在杯子的邊緣處，經(jīng)過(guò)測(cè)量，杯口的外面漏出了5 cm的吸管正好合適.那么，這個(gè)杯子的吸管應(yīng)設(shè)計(jì)多長(zhǎng)？接著，教師指導(dǎo)學(xué)生在分析的過(guò)程中，在紙上畫(huà)出示意圖，將杯子底部直徑、杯子高度、吸管構(gòu)成一個(gè)直角三角形，最終將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助勾股定理對(duì)其進(jìn)行解決.如此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅強(qiáng)化了自身的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想意識(shí)，也促使其在學(xué)習(xí)中，真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

2.5 等價(jià)轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

等價(jià)轉(zhuǎn)換思想作為最為常用到的轉(zhuǎn)化思想，就是把加法轉(zhuǎn)換成減法、除法轉(zhuǎn)換成乘法、整式轉(zhuǎn)化成分式等[6].幾何數(shù)學(xué)題中，還會(huì)把點(diǎn)和點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)換成平行線的距離進(jìn)行求解.在一些隱蔽性比較強(qiáng)的題目中，由于其內(nèi)容和形式較為新穎，與教材知識(shí)聯(lián)系不大，學(xué)生很難找到解決的方法，這時(shí)就可以考慮等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，分析其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)方法將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，凸顯問(wèn)題中的數(shù)學(xué)規(guī)律，將問(wèn)題與具體的教材知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，高效的解決問(wèn)題，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解.例如：求11×2+12×3+13×4…1n（n+1）的值.由于算式中有n個(gè)數(shù)連加，通常的計(jì)算方法很難得出答案，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題的各個(gè)項(xiàng)進(jìn)行分析，將其中的一個(gè)項(xiàng)等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)項(xiàng)的差，如：11×2=1-12，12×3=12-13，以此類(lèi)推，1n（n+1）=1n-1n+1，則11×2+12×3+13×4…1n（n+1）可轉(zhuǎn)化為（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1.在類(lèi)似的無(wú)窮項(xiàng)計(jì)算中，常規(guī)方法不能夠求出，這就需要學(xué)生能夠等價(jià)轉(zhuǎn)化，化整為零，從題目中的信息中發(fā)現(xiàn)隱藏的規(guī)律，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化有效的解決問(wèn)題.

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想是解決初中數(shù)學(xué)復(fù)雜問(wèn)題的有效思想，也是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵方法，教師要注重轉(zhuǎn)化思想的滲透和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的探究能力、思維能力和解題能力.因此，在數(shù)學(xué)解題中，教師注重將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，利用轉(zhuǎn)化思想方法解決問(wèn)題，使數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量得以提高的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題效率的提升.

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［責(zé)任編輯：李 璟］