波利亞“怎樣解題表”在初中數學幾何解題中的應用

摘 要：為彌補初中學生因為思考的不完整性而導致的做題難的問題，文章借助波利亞“怎樣解題表”，以2020年成都中考第25題為例，還原具體的解題教學過程，反思存在的問題，促進教師教學，提高學生數學思維品質和數學科學素養.

關鍵詞：“怎樣解題表”；解題教學；回顧反思

中圖分類號：G632" "文獻標識碼：A" "文章編號：1008-0333（2023）11-0008-03

收稿日期：2023-01-15

作者簡介：楊小娟，女，四川省成都人，中學一級教師，從事初中數學教學研究；

鐘文雯，女，四川省成都人，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

1 問題提出

通過對中考中難題的完成情況以及解題方法、策略的了解，學生發現他們在平時的解題中存在思路不清晰、思維過程不完整、沒有對問題進行及時的回顧反思和深入思考等現象，導致在時間有限的中考中，很難在短時間內找到解決問題的方法并得出最終的正確答案.因此筆者希望能夠通過利用經過長期實踐驗證的對學生解題有切實幫助的解題方法——波利亞“怎樣解題表”，彌補學生思考的不完整性，幫助學生在日常的解題學習中，形成完整的解題思路，從而培養他們的數學思維，從根本上提高他們的數學素養.

2 波利亞“怎樣解題表”

首先，理解題目.理解題目是解題的首要前提.從題目的敘述開始，熟悉題目，找出“未知量”，深入理解題目，將題目的主要部分分離出來，“已知數據是什么？條件是什么？[1]”

其次，擬定方案.擬定方案是解題的關鍵步驟.首先通過觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目[1].通過對比兩者的共同點和區別，總結出類似題目的解決方法和策略，并嘗試應用到待解題目中，找出已知數據與未知量之間的直接或間接聯系，必要時考慮輔助題目，最終得出一個解題方案.這個過程需要聯系舊知，符合學生最近發展區.

再次，執行方案.執行方案是解題的具體實施過程.執行之前擬定的方案是對解題方案的合理性和正確性的檢驗，培養學生整理零散思路，形成條理性思維.

最后，回顧.回顧是對解題過程的檢驗和完善，是對數學思維和素養培養的提升.通過檢驗解題中所得到的結果和論證、用不同的方法推導結果實現一題多解并進行方法優劣的比較從中擇優擇簡、考慮所得結果和方法在其它題目中的適用性最終實現對知識的遷移.但這個步驟在實際解題往往是最容易被忽略的.

“怎樣解題表”的四個環節是在完整解答一道題目時必定會涉及到的，是思維的層層遞進，且更多的是教師啟發性的提問，而不是一種解題的固定模式，所以教師在啟發學生解答題目時，并非要涉及到表中的所有問題，而應根據不同題目靈活運用，創造性地使用“怎樣解題表”[2].

3 波利亞“怎樣解題表”在初中數學解題及教學中的具體應用" 例1 面積為6的ABCD紙片中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步驟進行剪裁和拼圖.

3.4 第四步：回顧反思，深化理解

3.4.1 轉換角度，一題多解

解法一（分析法）：在上述解答過程中，我們的關注點是放在未知量上，此時解題的思維模式是找未知量解出未知量所需要的條件 →對比題目已知數據和條件是否符合.

解法二（直接法）：在學生自主思考解題時，他們可能會把更多關注點是放在已知量上，此時解題的思維模式是看已知量 →通過已知量能得出的可能結果 →在眾多結果中找到該題的結果.

兩種解法的思維方式和立足點是截然不同的.解法一是從結果找條件，解法二則是由已知推未知，顯然解法一能很好的避免學生在解題過程中偏題，但對學生的知識儲備和思維能力要求較高，而解法二則降低了對學生的思維能力要求，但同時也容易使學生在解題過程中偏離，浪費時間.

3.4.2 原題目條件不變，只改問題

將原問題“則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，對角線MN長度的最小值為________.”改為：則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，當對角線MN長度取最小值時，求陰影部分的面積？

通過這樣的改編，是在能夠解決原問題的基礎上，進一步加強了對三角形相似知識點的考查，拓寬了考查面，從不同角度探析其解題思路，并通過變式探究這一類問題的通解[3].

通過利用波利亞“怎樣解題表”解決上述問題，很好地展現了波利亞“怎樣解題表”在初中數學解題中的具體應用，同時也反映出波利亞“怎樣解題表”中所提供的完整的解題步驟.理解題目，弄清已知未知；聯系舊知，以舊法解新題，已知未知建立聯系，細化目標，逐一求解；回顧反思，深化結果遷移解題方法，為學生的數學解題提供了清晰的思路，能夠幫助學生找到明確的解題方向最終得出正確答案.同時波利亞“怎樣解題表”中所提到的“回顧”的環節，指導學生學習深入思考問題、發現問題、提出新問題，使學生的思維不僅僅局限于解這一道題上，對于提高學生的數學思維的培養也有很大幫助.

因此，在日常解題教學中，教師應該起到積極引導的作用，有目的性地引導學生，靈活利用波利亞“怎樣解題表”的解題思維進行解題，啟發學生思考，從而有效提升解題效率.

參考文獻：

［1］ G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓，譯.上海：上海教育科技出版社，2011.

[2] 徐彥輝.“怎樣解題表”應用兩例[J].高等數學研究，2014，17（04）：67-70.

[3] 楊虎.解法賞析思變式 變式探究尋通解[J].河北理科教學研究，2017（04）：12-15.

［責任編輯：李 璟］