深挖教材內涵?拓展思維空間

葉圣陶先生說過“教材無非就是個例子”，在實際教學中，教師怎樣才能利用好這個例子，使學生具有舉一反三的能力呢？本文以圖形中的規律教學思考與實踐為例，說明了如何通過對教材的解讀與分析深挖教材所蘊含的教學內容與信息，并結合學情拓展學生的思維空間，進而提高學生解決問題的能力。

一、課前思考

圖形中規律是北師大版小學數學五年級上冊“數學好玩”中的教學內容（如圖1所示），教材創設了一個淘氣和笑笑擺三角形活動的情境，引出了三個問題：第一，像笑笑這樣擺10個三角形需要多少根小棒？第二，從上表中你發現了什么？第三，笑笑接著擺下去，一共用了37根小棒，你知道她擺了多少個三角形嗎？

第一個問題，教材通過表格的形式引領學生怎樣擺，以規范學生的操作行為，按照怎樣的方式去擺才能符合要求，這是編者的意圖。第二個問題后面呈現了兩個表格，一個是淘氣擺三角形的記錄過程，一個是笑笑擺三角形的記錄過程，兩個人擺三角形時，三角形的個數與所用小棒根數之間的變化規律及方式，淘氣的表格呈現數量關系是以3為基數，每增加一個三角形就多2根小棒，用了3+2+2……的形式來表示，而笑笑在表示三角形個數與小棒根數之間的關系，換成用3來表示它們之間的關系，即第一個三角形需要3根，2個三角形則需要3×2-1根，3個三角形則需要3×3-2根，以此類推。編者的意圖是想通過表格讓學生明白，可以用不同的式子對三角形個數與小棒個數之間的關系進行表征，突出三角形個數與所用小棒根數之間關系的表征方法的多樣性。

但筆者認為，教材只給定擺三角形個數與所需要小棒的根數這樣一個例子，學生的探索規律資源較少，探索空間較小，同時給出了表征三角形個數與小棒根數之間的關系式，會限制學生的思維，導致學生產生思維定式，不利于學生的思維發展。況且規律本身具有一定的隱蔽性，解決此類問題的方法不是現成固定的，更多地要通過猜想、探索、解釋、驗證、歸納得到結果，所以筆者對以上內容做了調整，通過轉化、挖掘和豐富，將在下文的教學實踐中加以敘述。第三個問題的目的是幫助學生利用探索出來的規律解決實際問題，提高學生的應用意識。

從對以上教學內容的解讀與分析，筆者發現，前兩個問題設置的意義很重要，為學生明確了探索的目標要求和任務，具有一定的可操作性和規范性，但是對喜歡思考和實踐的學生來說還是有些局限，尤其是呈現了笑笑與淘氣記錄表征三角形個數與小棒根數之間的關系式，可能使學生的思維受到限制，阻礙了學生大膽地用自己的方法嘗試、探索和表征。那么如何才能最大限度地利用教材充分發揮學生的積極性，真正實現學生主動參與呢？筆者將笑笑與淘氣的記錄單改成了學習單，如表1所示。

二、教學實踐

（一）營造氛圍，明確目標

為了考查一下師生配合默契的程度，筆者出示了3道填空題，讓學生初步了解將要學習的內容。 第一，1、2、3、4、5、（" ）；第二，0、1、4、9 、（" ）；第三，2、3、5、7、（" ）。學生回答第一道題填6，第二道題填16，第三道題填11。教師問為什么？學生回答它們之間是有規律的：第一道題是從1開始相鄰連續的自然數，第二道題是從0開始相鄰連續自然數的平方數，第三道題是從2開始連續的質數。教師對學生的回答進行小結并引入新課：“你們說得很好，要想解決這些問題，就要善于動腦，發現它們之間的規律，今天我們就來學習‘圖形中的規律’”。（這個環節主要是通過師生互動，讓學生明白什么是規律，如何找、如何表達，喚起學生已有的知識經驗。）

（二）探索鋪墊，引領操作

教師要求學生兩人為一小組，拿出事先教師下發的學習單（如表1所示）和小棒，按照大屏幕展示的那樣擺三角形（大屏幕展示教師的示范△△△……）學生一人擺、一人記錄，并認真填寫“我的發現”。

完成任務后，學生發現每增加一個三角形就增加三根小棒；三角形個數與小棒根數之間的關系是擺三角形需要的小棒根數是三角形個數的3倍。教師繼續追問：“如果擺n個三角形，需要多少根小棒呢？你能用n表示三角形個數與小棒根數之間的關系嗎？”學生回答：“三角形的個數用n表示，小棒的根數用3n表示。”（由于教材出示的像笑笑那樣擺三角形去發現規律比較突然，給學生的探索帶來一定的難度，筆者特根據學情為學生的活動搭建了一個臺階作為鋪墊。）

（三）說清要求，探索新知

（1）教師通過大屏幕引導學生觀察，并像笑笑那樣用小棒去擺三角形，如圖所示： ……依然是兩個人一組，一人操作、一人記錄，操作完成后兩人進行交流，認真填寫“我的發現”。

（2）教師指名匯報學習單的記錄，學生匯報包括三種情況：第一，除第一個三角形外，每增加一個三角形就增加2根小棒；第二，小棒的根數都是奇數；第三，小棒根數與三角形個數之間的關系是除了第一個三角形用3根小棒外，2個三角形用3×2-1根小棒，3個三角形用3×3-2根小棒，4個三角形用4×3-3根小棒，以此類推。

（3）教師追問：“如果擺n個三角形，需要多少根小棒？”學生回答：“2n+1根，3n-（n- 1）根。”教師繼續追問：“還有補充嗎？還有不同的意見嗎？”學生回答：“2n+1其實與3n-（n-1）是一樣的，因為3n-（n-1）=3n-n+1=2n+1。”教師對學生的回答給予肯定，然后引導學生總結：這樣擺的規律是三角形所用的小棒根數是三角形個數的2倍加1。（通過操作、討論，學生親身體會了規律獲得的過程，使隱藏在圖形背后的規律顯性化，有利于學生對規律的抽象與概括。交流和匯報實現了學生間不同思維的碰撞和思想的交換，將本來的單向交流轉變為多維度立體式互動，拓寬了學生的思維空間，提升了學生的想象能力。）

（4）解決實際問題。教師提問：“如果像笑笑這樣接著擺下去，一共用了37根小棒，你知道她能擺多少個三角形嗎？”學生回答：“可擺18個。”教師追問：“你是怎么解決的？”學生說：“第一個三角形用了3根，其余的是兩根，37-3=34，34÷2=17，17+1=18，所以是18個。”教師繼續問：“還有別的想法嗎？”學生說：“因為三角形個數與所需小棒之間存在著2n+1的關系，所以可以用37-1的差再除以2就等于18個。”其他學生補充說：“可以列方程，2n+1=37" 2n=37-1，2n=36，n=18。”教師小結：“真棒！你們已經學會用發現的規律解決問題了。”（通過應用規律解決實際問題，促進學生體會發現規律的重要價值，激發學生探索應用規律的興趣，最大限度地發揮學生學習的能動性，促進學生主動參與、樂于探究，為接下來的繼續探究規律奠定基礎。）

（四）深挖教材，拓展思維

（1）教師出示大屏幕，像笑笑這樣擺正方形，如圖所示：……依然是每兩個人一組，一人擺、一人記錄，操作完成后兩人交流，認真填寫學習單中“我的發現”（如表2所示）。教師指名匯報，學生回答：“我發現每多一個正方形就多3根小棒。”另一個學生說：“我發現如果擺n個正方形就需要3n+1個小棒。”教師組織學生交流分享。

（2）教師繼續出示大屏幕（如圖所示：……）并提出要求，像大屏幕這樣擺n個五邊形需要多少根小棒，依然是一個人擺，一個人記錄，操作完成后交流，認真填寫“我的發現”。教師指名匯報。學生1：除了第一個五邊形外，每增加一個五邊形就增加4根小棒；學生2：擺n個五邊形可以用4 n+1來表示；學生3：可以用5+（n- 1）×4來表示。教師小結：“你們真棒，不僅得到了需要小棒的根數，還知道怎樣用n表示小棒根數與五邊形個數之間的關系。”

（3）教師提問：“現在老師不讓你們擺圖形了，如果像大屏幕這樣每兩個圖形共用一條邊，分別擺六邊形、七邊形、n邊形，那么圖形個數與所需小棒根數之間有什么關系呢？”教師引導學生組織討論，學生匯報：六邊形用5n+1表示，七邊形用6n+1表示，n邊形用（n-1）×n+1表示。

三、結語

通過課前思考和教學實踐可以看出，教師要根據教科書給定的材料，不斷思考如何讓學生的學習更有深度、有效度。筆者深挖教材內涵信息，豐富教學內容，使學生有更全面的體驗。設計一組探究活動，依據學生認知規律由淺入深，目的是將教材內容轉變成促使學生思維發展與深化的豐富資源，充分利用教材，使學生的認識由點到面，由一例到一類，由特例到一般，利用合情推理，找到解決一類問題的方法，通過解決實際問題感受到規律的重要價值，變被動式學習為主動式出擊，掌握和探究規律，最終舉一反三，觸類旁通，拓展學生的思維空間，提高學生的應用意識，實現知識建構的結構化。