高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑

【摘要】幾何在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占據(jù)重要地位，亦是重點(diǎn)與難點(diǎn)所在，教學(xué)內(nèi)容包含復(fù)數(shù)、平面向量、立體幾何初步等知識(shí)模塊，是培育高中學(xué)生空間想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的重要途徑.文章通過(guò)經(jīng)驗(yàn)與實(shí)踐相結(jié)合的方法，詳細(xì)分析了高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中存在的障礙，并從學(xué)習(xí)思維、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)認(rèn)知、學(xué)習(xí)途徑及學(xué)習(xí)質(zhì)效五個(gè)角度切入，提出高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑，以解決高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中存在的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；幾何學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)障礙；優(yōu)化路徑

引 言

數(shù)學(xué)是一門(mén)以“數(shù)量關(guān)系與空間形式”為研究對(duì)象的科學(xué)，將“數(shù)量關(guān)系與空間形式”研究?jī)?nèi)容映射到高中數(shù)學(xué)學(xué)科維度，即表現(xiàn)為解析幾何與立體幾何.直觀上，廣義幾何的構(gòu)成元素并不復(fù)雜（如點(diǎn)、線、面等），學(xué)生在初中階段就已經(jīng)接觸過(guò)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，但進(jìn)入高中后，幾何學(xué)習(xí)的思維邏輯、任務(wù)要求、方法過(guò)程等發(fā)生了“質(zhì)的變化”，它不再局限于單純的求解，而是強(qiáng)調(diào)識(shí)圖能力、想象能力、論證能力等的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)基于集合思想來(lái)看待客觀現(xiàn)象、解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，從而加強(qiáng)幾何理論與客觀世界的聯(lián)系.據(jù)此，高中數(shù)學(xué)教師要轉(zhuǎn)變理念、創(chuàng)新途徑，幫助學(xué)生找到幾何學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑.

一、高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)的障礙分析

（一）概念理解的困難

在高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中，概念理解的困難是許多學(xué)生面臨的主要問(wèn)題.這些困難源于多種因素，在深入探討這些因素時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)主要的障礙：基礎(chǔ)知識(shí)的缺失、空間想象能力的不足及概念與公式的混淆.基礎(chǔ)知識(shí)的缺失是許多學(xué)生在高中幾何學(xué)習(xí)中遇到的第一個(gè)障礙.幾何學(xué)是一個(gè)建立在基礎(chǔ)概念之上的學(xué)科，如點(diǎn)、線和面，這些基礎(chǔ)概念是學(xué)習(xí)更高級(jí)和更復(fù)雜概念的基石.如果學(xué)生在小學(xué)和初中階段沒(méi)有掌握這些基礎(chǔ)概念，在高中階段面對(duì)更復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)可能會(huì)遭遇困難.這種缺失的基礎(chǔ)知識(shí)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在嘗試?yán)斫夂徒鉀Q高級(jí)問(wèn)題時(shí)遇到阻礙，因?yàn)樗麄儧](méi)有足夠的背景知識(shí)來(lái)支撐他們的學(xué)習(xí).此外，空間想象能力是幾何學(xué)習(xí)中的另一個(gè)關(guān)鍵因素.這種能力可以促使學(xué)生在心中構(gòu)建和操作形狀，從而更好地理解和應(yīng)用幾何概念.空間想象能力是一種特殊的認(rèn)知技能，不是所有的學(xué)生都具備強(qiáng)大的空間想象能力.對(duì)于空間想象能力較弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解和解決幾何問(wèn)題可能會(huì)變得更加困難.這種能力的缺乏會(huì)導(dǎo)致他們?cè)趪L試解決幾何問(wèn)題時(shí)遭遇更多的障礙，導(dǎo)致他們不能有效地在心中操作和理解形狀.最后，概念與公式的混淆是許多學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中遭遇到的另一個(gè)問(wèn)題.幾何學(xué)習(xí)中有許多基本概念和相關(guān)的公式，理解這些概念和公式之間的區(qū)別是至關(guān)重要的.但是，有時(shí)學(xué)生會(huì)混淆這些概念和公式，導(dǎo)致他們?cè)诮忸}時(shí)選擇錯(cuò)誤的方法或策略.這種混淆可能是由于學(xué)生沒(méi)有足夠的練習(xí)鞏固所學(xué)，或者他們沒(méi)有得到足夠的指導(dǎo)來(lái)幫助他們區(qū)分這些概念和公式.

（二）解題策略的不足

在高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中，解題策略的不足是一個(gè)普遍存在的問(wèn)題.這些不足可能源于多種因素，包括缺乏系統(tǒng)的解題方法、過(guò)度依賴(lài)記憶及缺乏實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn).面對(duì)幾何題目，許多學(xué)生沒(méi)有一個(gè)清晰、系統(tǒng)的解題策略.這意味著，當(dāng)他們?cè)噲D解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)感到迷茫和困惑，不知道從哪里開(kāi)始或如何繼續(xù).一個(gè)有效的解題策略不僅可以幫助學(xué)生確定如何開(kāi)始，還可以指導(dǎo)他們?cè)谡麄€(gè)解題過(guò)程中每一步該做什么.沒(méi)有這樣的策略，學(xué)生可能會(huì)陷入死胡同，無(wú)法找到問(wèn)題的答案或者他們可能會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間和精力在不必要的步驟上.另一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題是學(xué)生過(guò)于依賴(lài)記憶公式和定理.雖然記憶公式和定理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分重要，但僅僅依賴(lài)記憶公式和定理是不夠的.真正地理解依賴(lài)深入探討這些公式和定理背后的邏輯和原因.當(dāng)學(xué)生只是機(jī)械地記憶這些知識(shí)，而不是真正理解它們，則在遇到稍有變化的題型時(shí)就會(huì)感到困惑.這是因?yàn)椋麄儾焕斫夤胶投ɡ淼谋澈笤恚蜔o(wú)法靈活地應(yīng)用它們來(lái)解決新的、未知的問(wèn)題.另外，實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)在幾何學(xué)習(xí)中是非常有價(jià)值的.使用工具，如尺子、量角器等，可以幫助學(xué)生更直觀地理解和應(yīng)用幾何概念.通過(guò)實(shí)際操作，學(xué)生可以更直觀地看到形狀、角度和長(zhǎng)度的關(guān)系，從而更好地理解幾何概念.但遺憾的是，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生沒(méi)有足夠的機(jī)會(huì)進(jìn)行實(shí)際操作，缺乏實(shí)踐機(jī)會(huì)可能會(huì)削弱他們的理解能力和應(yīng)用幾何概念的能力.

二、高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑

（一）接觸實(shí)物，建立學(xué)習(xí)思維

在高中數(shù)學(xué)的幾何學(xué)習(xí)中，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑是提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵.其中，接觸實(shí)物和建立學(xué)習(xí)思維是兩個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).接觸實(shí)物可以為學(xué)生提供一個(gè)直觀的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，幫助他們更好地理解和應(yīng)用幾何概念.幾何學(xué)是一個(gè)與現(xiàn)實(shí)世界緊密相關(guān)的學(xué)科，因?yàn)樗芯康氖切螤睢⒋笮『臀恢玫确矫娴膯?wèn)題.通過(guò)與真實(shí)的物體互動(dòng)，學(xué)生可以更直觀地看到這些概念在現(xiàn)實(shí)世界中是如何應(yīng)用的.例如，學(xué)生可以使用尺子和量角器來(lái)測(cè)量真實(shí)物體的大小和角度，從而更好地理解這些工具的使用方法和重要性.此外，接觸實(shí)物還可以幫助學(xué)生建立一個(gè)更為具體和實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，這對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題是非常有幫助的.與此同時(shí)，建立學(xué)習(xí)思維是另一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).學(xué)習(xí)思維不僅僅是如何解決問(wèn)題，更重要的是如何思考問(wèn)題.在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要學(xué)會(huì)如何識(shí)別問(wèn)題、如何定義問(wèn)題、如何選擇合適的方法和策略來(lái)解決問(wèn)題.這需要學(xué)生具備批判性思維和創(chuàng)造性思維的能力.批判性思維允許學(xué)生評(píng)估和分析信息，從而做出更為合理的決策.而創(chuàng)造性思維允許學(xué)生在面對(duì)新的、未知的問(wèn)題時(shí)，能夠靈活地應(yīng)用他們已有的知識(shí)和技能.培養(yǎng)這兩種思維能力，可以使學(xué)生更為深入地理解和應(yīng)用幾何概念，從而更好地應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)中的挑戰(zhàn)為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)教育者需要提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生與實(shí)物互動(dòng)，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)思維能力.

例如，在“立體幾何初步”教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)將前期的重點(diǎn)放在學(xué)生自主、合作、探究等行為引導(dǎo)上，幫助學(xué)生建立起實(shí)際物品與立體幾何圖形要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系.再如，“基本立體圖形”部分，涉及一系列概念的學(xué)習(xí)，如果直接利用立體幾何透視圖進(jìn)行講解，則不利于空間想象能力不足的學(xué)生理解，但通過(guò)實(shí)物的接觸（包括觀察、拆解、組合等），學(xué)生更容易理解側(cè)面、底面，也更容易掌握基本立體圖形的本質(zhì).

（二）差異分層，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

在高中數(shù)學(xué)的幾何學(xué)習(xí)中，差異分層和增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是兩個(gè)核心策略，旨在滿足學(xué)生的個(gè)體差異并提升他們的學(xué)習(xí)效果.差異分層是基于每名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和背景知識(shí)都具有獨(dú)特性的基礎(chǔ)上的一種教學(xué)方法.在一個(gè)班級(jí)中，有些學(xué)生當(dāng)堂課就已經(jīng)掌握了某些基本概念，而有些學(xué)生則可能需要更多的時(shí)間和支持才能掌握基本概念.教師可以通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)，來(lái)確保每名學(xué)生都獲得適合自己的教學(xué)資源和支持.例如，對(duì)于那些已經(jīng)掌握了基本概念的學(xué)生，教師可以提供更深層的材料和挑戰(zhàn)，以進(jìn)一步深化他們的理解.而對(duì)于那些需要額外支持的學(xué)生，教師可以提供更多的指導(dǎo)和實(shí)踐機(jī)會(huì)，以幫助他們掌握關(guān)鍵概念.這種分層教學(xué)的方法可以確保每名學(xué)生都能在自己的水平上取得進(jìn)步，從而提升整體的學(xué)習(xí)效果.增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)有助于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)興趣和熱情.學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是驅(qū)使學(xué)生努力學(xué)習(xí)和取得進(jìn)步的關(guān)鍵因素.當(dāng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)感興趣、懷有熱情時(shí)，就能投入更多的時(shí)間和精力，從而取得更好的學(xué)習(xí)效果.為了增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，教育者可以采用多種策略.例如，他們可以與學(xué)生一起探討幾何概念在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，以展示這些概念的實(shí)際意義和價(jià)值.或者，他們可以為學(xué)生提供更多的選擇和自主性，讓學(xué)生能夠按照自己的興趣和節(jié)奏來(lái)學(xué)習(xí).此外，教師積極的反饋和認(rèn)可也可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

以一個(gè)實(shí)際教學(xué)案例為例，在知識(shí)點(diǎn)或章節(jié)教學(xué)之前，教師可以先對(duì)學(xué)生展開(kāi)幾何基礎(chǔ)的評(píng)測(cè)，如“位置關(guān)系”為主題的評(píng)測(cè)題目.

（1）任意一個(gè)空間幾何體構(gòu)成需要哪些必備元素？（空間想象能力）

（2）不限定幾何結(jié)構(gòu)的情況下，點(diǎn)、線、面存在哪幾種關(guān)系？舉例說(shuō)明（數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力）

（3）用集合圖表示出空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系.（數(shù)學(xué)建模能力）

（4）棱柱與棱錐的區(qū)別是什么？相同底面、高度的棱錐與棱柱哪個(gè)體積更大？（邏輯推理能力）

教育者還可以根據(jù)學(xué)生的反饋，進(jìn)一步設(shè)置分層教學(xué)活動(dòng).例如，在“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”的教學(xué)活動(dòng)中，教師可以在學(xué)生掌握基本概念、知識(shí)點(diǎn)之后，為知識(shí)掌握情況較好的學(xué)生布置“在一個(gè)正六棱柱中間挖出一個(gè)圓柱，求剩下部分的最小表面積、最小體積”的作業(yè)，為幾何水平較差的學(xué)生，布置“計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)等獨(dú)立的集合體的其表面積與體積”的作業(yè).

（三）技術(shù)滲透，深化學(xué)習(xí)認(rèn)知

在當(dāng)代教育領(lǐng)域中，技術(shù)滲透和深化學(xué)習(xí)認(rèn)知已經(jīng)成為兩個(gè)不可或缺的趨勢(shì).這兩者相輔相成，共同推進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教育效果.技術(shù)滲透是指將現(xiàn)代技術(shù)整合到教學(xué)過(guò)程中，使其成為學(xué)習(xí)的一部分.隨著科技的快速發(fā)展，數(shù)字模型、三維動(dòng)畫(huà)等技術(shù)為教育帶來(lái)了前所未有的機(jī)會(huì).利用這些技術(shù)，教育者可以為學(xué)生創(chuàng)造更為生動(dòng)、互動(dòng)和個(gè)性化的學(xué)習(xí)體驗(yàn).例如，通過(guò)三維動(dòng)畫(huà)技術(shù)，學(xué)生可以沉浸在一個(gè)三維的學(xué)習(xí)環(huán)境中，直觀地探索和體驗(yàn)各種概念和知識(shí).這種沉浸式的學(xué)習(xí)體驗(yàn)不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī)，還可以幫助他們更為深入地理解和掌握知識(shí).與此同時(shí)，深化學(xué)習(xí)認(rèn)知可以幫助學(xué)生更為深入地理解和應(yīng)用知識(shí).傳統(tǒng)的教育方法往往過(guò)于重視知識(shí)的傳授，而忽視了學(xué)生的思考和反思過(guò)程.在深化學(xué)習(xí)認(rèn)知的過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)，提出問(wèn)題，進(jìn)行探索和實(shí)驗(yàn)，以及與他人合作和交流.這種學(xué)習(xí)方法可以幫助學(xué)生建立更為堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)他們的批判性思維能力和創(chuàng)造性思維能力，以及提高他們的問(wèn)題解決和決策制訂能力.將技術(shù)滲透與深化學(xué)習(xí)認(rèn)知相結(jié)合，可以更好地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.技術(shù)為深化學(xué)習(xí)認(rèn)知提供了強(qiáng)大的工具和資源，使學(xué)生可以更為靈活和多樣地進(jìn)行學(xué)習(xí).而深化學(xué)習(xí)認(rèn)知?jiǎng)t為技術(shù)滲透提供了方向和目標(biāo)確保技術(shù)真正地服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和發(fā)展.這種相互促進(jìn)的關(guān)系使得技術(shù)和認(rèn)知成為現(xiàn)代教育的兩大支柱，為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)更為開(kāi)放、創(chuàng)新和有趣的學(xué)習(xí)環(huán)境.

“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”這一章節(jié)，教材中使用了較為抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的情況下，很難想象到生成的過(guò)程.但微課視頻、動(dòng)畫(huà)軟件等工具，可以將整個(gè)過(guò)程演示出來(lái).例如“一個(gè)平面多邊形沿著一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)所形成的立體圖形是棱柱”，其原理是“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”.教師利用信息技術(shù)為學(xué)生演示“動(dòng)起來(lái)”的畫(huà)面，可以使整個(gè)生成過(guò)程一目了然（如圖所示）.

結(jié) 語(yǔ)

在探討高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)的優(yōu)化路徑時(shí)，文章深入討論了多種方法和策略，如數(shù)形結(jié)合、拓寬學(xué)習(xí)途徑，以及具體的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì).這些方法都旨在提供更為直觀、生動(dòng)和實(shí)際的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，幫助學(xué)生更為深入地理解和掌握幾何知識(shí).而結(jié)合實(shí)際操作和小組合作的教學(xué)方式，又進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了實(shí)踐和合作的重要性.因此，對(duì)于高中數(shù)學(xué)幾何部分的教學(xué)，教師不應(yīng)僅重視知識(shí)的傳授，更重要的是通過(guò)各種創(chuàng)新方法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的思考和操作能力，從而為他們的未來(lái)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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