含裂紋脆性材料的拉壓模量

摘要：脆性材料在承受拉伸和壓縮時，其機械性能會顯示出較大的差異性。這種差異性體現在2個方面：1）脆性材料的抗壓強度（強度極限）遠遠高于抗拉強度;2）含缺陷的脆性材料在受壓時，由于裂紋面的閉合效應和摩擦效應，其有效壓縮模量會顯著地高于有效拉伸模量。為了考察含缺陷脆性材料的拉壓模量的差異，可以考慮一個遠端受拉伸或壓縮應力的無限大薄板，分析在其上截取的一個含一條任意方向裂紋的單元。采用彈性力學理論中的復變函數法，得到代表性單元邊界處各點的位移和應力，再通過平均化法，得到作用在單元邊界上的正應變和正應力，從而求出單元的有效拉壓模量。分析表明，薄板遠端受拉伸時，單元內的裂紋始終處于張開狀態;遠端受壓時，裂紋大多情況下處于閉合狀態，閉合時裂紋面上的正應力與裂紋方向有關，從而影響了有效壓縮模量。計算結果很好地符合了預期。

關鍵詞：拉壓模量; 彈性力學; 復變函數法; 閉合效應; 摩擦效應

中圖分類號：O343.1;O341文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.04.001

Tensile and compressive modulus of brittle materials containing crack

CUI Song1，2， LYU Yan1，2， CHEN Lanfeng1，2

（1. College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China;

2. Ray Instrumentation Engineering Technology Research Center of Liaoning Province， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：Brittle materials exhibit significant differences in mechanical properties when subjected to tension and compression. This difference is reflected in two aspects： one is that the compressive strength （strength limit） of brittle materials is much higher than the tensile strength; another issue is that brittle materials containing defects， when subjected to compression， have significantly higher effective compressive modulus than effective tensile modulus due to the closure effect and friction effect of the crack surface. In order to investigate the differences in tensile and compressive modulus of brittle materials with defects， an infinite thin plate subjected to tensile or compressive stress at the far end can be considered. An element containing a crack in any direction cut from it can be analyzed， and the displacement and stress at each point at the boundary of the representative element can be obtained using the complex function method in elasticity; then， the normal strain and stress acting on the element boundary can be obtained through the averaging method; thus， the effective tensile and compressive modulus of the element can be determined. The analysis shows that when the thin plate is stretched at the far end， the cracks within the element are always in an open state. When subjected to remote compression， cracks are mostly in a closed state， and the normal stress on the crack surface in a closed state is related to the direction of the crack， thereby affecting the effective compression modulus. The calculated results are in good agreement with expectations.

Key words：tensile and compressive modulus; elasticity; complex function method; closure effect; frictional effect

同一種脆性材料在內部無損傷的情況下，其拉伸模量和壓縮模量是相等的，即同為楊氏模量E。如果材料內部有缺陷，則受多種因素的影響，其有效拉壓模量并不相等。對這一類問題進行分析，需要用到損傷力學，其方法大體有2種：宏觀唯象法［14］和細觀分析法［58］。而把二者結合起來，可以更好地符合材料的力學背景和細觀圖像。

含裂紋的脆性材料薄板在遠端受拉伸載荷時，不管裂紋是沿什么方向，其總是處于張開狀態;而在遠端受壓縮載荷時，裂紋兩側則受到復雜的雙軸壓力作用，考慮到閉合應力［9］，裂紋角度在一個較大的范圍內裂紋都是閉合的，在一個較窄的范圍內則是張開的，閉合的情況又分裂紋面滑動和不滑動［1012］。這種差別，導致材料的有效拉伸和壓縮模量存在顯著的差異。

1遠端受拉壓薄板內部的代表性單元

考慮一個遠端沿y軸方向受均布拉伸或壓縮載荷q的無限大薄板，薄板內有一長度為2a的裂隙，裂隙與x軸夾角為θ，如圖1所示。在薄板中截取一代表性單元，單元的2條邊界分別平行于結構坐標系的x和y軸，單元的長度為2l，高度為2h，裂隙位于單元中央。

再設一個損傷主軸坐標系ox′y′，其中x′軸沿裂隙方向，按照應力轉換關系，可得薄板遠端在ox′y′系下的應力邊界條件為

q′1=sin2θ·q

q′2=cos2θ·q

q′3=sinθcosθ·q（1）

其中：q′1，q′2分別為薄板遠端在x′和y′方向的均布正應力;q′3為遠端在ox′y′系下的均布剪應力。損傷主軸坐標系下的遠端應力邊界條件如圖2所示。

若圖1中薄板遠端受拉伸，即qgt;0時，則由式（1），圖2中的遠端應力q′1，q′2均為拉應力，裂隙必處于張開狀態，代表性單元內有損傷，其有效拉伸模量應有所下降。如果qlt;0，則q′1，q′2均小于零，圖2中的薄板遠端承受均布的雙軸壓力，根據文獻［9］，當q′2lt;μq′1時，裂隙張開，其中μ為泊松比;當q′2≥μq′1時，裂隙閉合，μq′1稱為閉合應力，此時裂紋面上的正應力q′N=q′2-μq′1，即

q′N=0q′2lt;μq′1

q′2-μq′1q′2≥μq′1

當裂紋面閉合時，如果q′3lt;μsq′N，裂紋面閉合不滑動;若q′3≥μsq′N，則裂紋面有摩擦滑動。其中μs為材料的摩擦系數。

圖2中薄板內任一點（x′，y′）的位移和應力，可以采用復變函數法［1314］獲得，依據公式

E1+μ（u′+iv′）=3-μ1+μφ1（z）-zφ′1（z）-ψ1（z）（2）

和公式

σy′+σx′=4Reφ′1（z）

σy′-σx′+2iτx′y′=2［φ″1（z）+ψ′1（z）］（3）

分別求出薄板在該點處ox′y′系下各點的位移分量u′和v′，以及應力分量σx

SymbolbB@

，σy

SymbolbB@

和τx

SymbolbB@

y

SymbolbB@

。其中，式（2）中的E為材料的楊氏模量，z=x′+iy′。

為了計算圖1中代表性單元邊界上各點的位移和應力，可以先將邊界各點在oxy坐標系下的坐標（x，y）通過轉換式

x′y′=cosθsinθ-sinθcosθxy

轉變為ox′y′系下的坐標（x′，y′），再代入到式（2）和式（3）中，算出位移和應力之后，由公式

v=sinθ·u′+cosθ·v′

和

σy=sin2θ·σx′+cos2θ·σy′+sin2θ·τx′y′

得到單元在邊界y=h上oxy系下各點的位移分量v和應力分量σy，再求其平均值和y，令

y=/h

y和y分別為代表性單元的總體平均正應力和總體平均正應變，而

=yy

即為代表性單元的有效彈性模量。

2脆性材料拉壓模量差異性的計算分析

式（2）和式（3）中的復變函數φ1（z）和ψ1（z）與薄板在圖2中的應力邊界條件q′1，q′2，q′3和q′N有關，如果裂紋面閉合且有摩擦滑動，裂紋面的邊界條件還要加上剪切力μsq′N。其中q′1，q′2，q′3對應的函數φ1（z）和ψ1（z）的表達式可以參閱文獻［13］，q′N對應的φ1（z）和ψ1（z）表達式為［9］

φ1（z）=q′N2z-z2-a2

ψ1（z）=q′N2·a2z2-a2

而μsq′N對應的復變函數的表達式為［12］

φ1（z）=iμsq′N2z2-a2-z

ψ1（z）=iμsq′N22z-2z2-a2-a2z2-a2

最后計算式（2）、式（3）中的φ1（z）和ψ1（z）是各種應力邊界條件下對應表達式的疊加形式。

下面作一個具體的算例。這里選用的材料為砂巖，其材料常數［15］為E=66GPa，μ=0.26，μs=075;代表性單元的一些尺寸參數比為l/h=1，a/l=0.2;裂隙的角度θ取值范圍為［0，210°］。先后給薄板遠端施加某個數值的拉伸載荷和壓縮載荷q，算出單元的/E隨裂隙角度θ的變化關系，并描繪出曲線，如圖3所示。其中，曲線1和曲線2分別表示薄板遠端受到拉伸和壓縮作用下的計算結果。

2條曲線均以180°為周期。其中，曲線1中θ在0°～90°有效拉伸模量是逐漸增大的，在90°～180°是逐漸下降的，所有情況下裂隙都是張開的;曲線2中裂隙的狀態分為3種： 1）θ在0°～36.86°和143.14°～180°裂紋面閉合且不滑動，其中在0°～36.86°，隨著裂隙的閉合應力μq′1逐漸增大，q′2逐漸減小，導致裂隙面上的正壓力q′N減小，有效壓縮模量緩慢下降，143.14°～180°的情況則與此相反; 2）θ在36.86°～62.98°和117.02°～143.14°裂紋面閉合且有摩擦滑動，其中在36.86°～62.98°，裂紋面上能承受的最大剪切力為μsq′N，小于q′3，且隨著q′N的減小而減小，所以有效壓縮模量比0°～36.86°下降得更快，而117.02°～143.14°的情況則與此相反; 3）θ在62.98°～117.02°，裂隙張開，因而在這一段曲線2與曲線1重合。

如果薄板遠端受壓縮作用的情況下不考慮裂紋面的閉合應力μq′1，認為裂紋面上的正應力q′N=q′2，則由此得到的/E-θ關系曲線如圖4所示，與按照q′N=q′2-μq′1得到的結果曲線相比，前者裂紋面閉合不滑動階段有效拉伸模量保持不變，且等于楊氏模量E，不像后者曲線為緩慢下降或上升。

3結論

本文利用彈性力學中的復變函數法分析了含裂隙的代表性單元在承受拉伸和壓縮載荷時其有效彈性模量展示出的差異，結果顯示，壓縮模量總是大于或等于（大多情況下是大于）拉伸模量。該方法還可以和統計方法相結合，分析含各種分布裂紋群的薄板的有效彈性模量。

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