勾股定理證明方法探究

張巖

本文探究了勾股定理的證明和思想。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理”。勾股定理，描述的是直角三角形三邊的數量關系。勾股定理是數學中發現最早的一個定理。勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力。

一、勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。數學公式中常寫作：a2+b2=c2 （直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c）。這個定理在中國又稱為“商高定理”， 在外國稱為“畢達哥拉斯定理”、“百牛定理”或 “驢橋定理”。

二、勾股定理的證明

勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力。千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，反復論證。目前勾股定理的證明方法已有很多種，基本上每種證明方法大都把幾何知識與代數知識相結合，充分體現了數形結合思想的魅力，轉化思想的巧妙。本文就討論幾種具有代表性的證明方法以及一些具有探究性的證明方法，探究勾股定理的奧妙。

大家熟知的有畢達哥拉斯的證法、趙爽弦圖的證法，劉徽的證法三種比較著名的證明方法、下面討論一下其他的一些證明方法，非常值得我們探究學習。

（一）歐幾里德證明方法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

做三個邊長分別為[a]、[b]、[c]的正方形，把它們拼成如圖一所示形狀，使[H]、[C]、[B]三點在一條直線上，連結[BF，CD]。 過[C]作[CL⊥DE]，交[AB]于點[M]，交[DE]于點[L]。

因為[AF=AC，AB=AD]

[∠FAB=∠GAD]

所以 [ΔFAB?ΔGAD]

因為 [ΔFAB]的面積等于[12a2]

[ΔGAD]的面積等于矩形ADLM的面積的一半

所以矩形ADLM的面積 等于[a2]

同理可證，矩形MLEB的面積等于[b2]

因為正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

所以[c2=a2+b2]，即[a2+b2=c2]。

這種方法簡單易懂，靈活運用了幾何和代數方法的結合。

（二）利用相似三角形的性質證明

如圖二，在直角[ΔABC]中，設直角邊[AC、BC]的長度分別為[a，b]，斜邊[AB]的長為[c]，過點[C]作[CD⊥AB]，垂足是[D]。

[在ΔADC和ΔACB中]，

因為[∠ADC =∠ACB = 90?]

[∠CAD =∠BAC]

所以 ?[ΔADC∽ΔACB]

[AD：AC=AC：AB]

即 ?[AC2=AD×AB]

同理可證， [ΔCDB∽ΔACB]，從而有[BC2=BD×AB]

所以[AC2+BC2=（AD+DB）×AB=AB2]，即[a2+b2=c2]。

（三）利用切割線定理證明

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c。 如圖三，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a。 因為∠BCA=90?，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線。 由切割線定理，得

AC2=AE·AD

=（AB+BE）（AB-BD）

=（c+a）（c-a）

=c2-a2，

即b2=c2-a2，

∴a2+b2=c2。

（四）利用多列米定理證明

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c（如圖四）。 過點A作AD∥CB，過點B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接于一個圓。 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有

AB·DC=AD·BC+AC·BD，

∵ AB =DC=c，AD=BC=a，

AC=BD= b，

∴AB2=BC2+AC2，即c2=a2+b2，

∴a2+b2=c2。

（五）作直角三角形的內切圓證明

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB= c。 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖五），設⊙O的半徑為r。

∵ AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴ AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF+BF）

=CE+CD=r+r=2r，

即a+b-c=2r，

∴a+b=2r+c。

∴（a+b）2=（2r+c）2，

即a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2，

∵S△ABC=[12]ab，

∴2ab=4S△ABC，

又∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=[12]cr+[12]ar+[12]br=[12]（a+b+c）r =[12]（2r+c+c）r=r2+rc，

∴4（r2+rc）=4S△ABC，

∴4（r2+rc）=2ab，

∴a2+b2+2ab=2ab+c2，

∴a2+b2=c2。

（六）利用反證法證明

如圖六，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D。

假設a2+b2≠c2，即假設AC2+BC2≠AB2 ，則由

AB2=AB·AB=AB（AD+BD）=AB·AD+AB·BD

可知AC2 ≠AB·AD，或者BC2≠AB·BD 。 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB。

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A=∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則

∠ADC≠∠ACB。

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B=∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，則

∠CDB≠∠ACB。

又∵ ∠ACB=90?，

∴ ∠ADC≠90?，∠CDB≠90?。

這與作法CD⊥AB矛盾。所以，AC2+BC2≠AB2的假設不能成立。

∴a2+b2=c2。

勾股定理是中學數學中解決問題的基本定理之一。本文探究了幾種有關勾股定理的證明方法，以幾種經典的證明方法為引子，從不同角度思考來證明勾股定理的方法，可以讓大家更深入地理解勾股定理的結構，對勾股定理的證明可以從不同角度去思考，啟迪學生面對同一問題要從不同的角度來思考和看待問題。