物理學(xué)中的“降維打擊”

鄭華 王新剛 朱勵(lì)霖

關(guān)鍵詞 降維打擊;高斯積分;矩陣行列式;諧振子;生成函數(shù)

科幻作家劉慈欣的代表作《三體》一書中，“降維打擊”是指外星人將太陽(yáng)系由三維空間降至二維空間的一種攻擊方式?！度w》小說(shuō)和與之相應(yīng)的影視作品讓“降維打擊”這一名詞被大家所熟知。這一概念也被人們?cè)谏钪惺褂茫砻髂雺菏降膬?yōu)勢(shì)。在教學(xué)過程中，如果能將具體問題與這種時(shí)髦且大家耳熟能詳?shù)母拍罱Y(jié)合，勢(shì)必能引起學(xué)生的興趣與共振，助力課堂教學(xué)。

分析力學(xué)比牛頓力學(xué)優(yōu)越的地方之一是引入了抽象的廣義坐標(biāo)的概念，并與系統(tǒng)自由度相對(duì)應(yīng)。實(shí)際是一種抽象維度的概念。在物理學(xué)中，有很多問題實(shí)例涉及維度的概念，由于有些老師在授課中只是具體問題具體分析，同時(shí)學(xué)生局限于對(duì)知識(shí)深度的認(rèn)知，學(xué)生未能理解這一類問題的聯(lián)系或?qū)@類問題形成比較清晰的認(rèn)識(shí)。本文的目的就是通過具體實(shí)例凝練出物理學(xué)中“降維打擊”這一概念，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，同時(shí)在物理學(xué)教育同行中起到拋磚引玉的作用。

一般而言，在處理復(fù)雜物理問題時(shí)，為簡(jiǎn)化問題，人們都是把高維問題向低維轉(zhuǎn)化，即降維，使得問題能得到解決，例如物理學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)近似、抓主要矛盾忽略次要矛盾等思想。但對(duì)有些具體問題時(shí)，處理方式卻恰好相反，是將問題向高維度轉(zhuǎn)化從而使低維問題得解。雖然聽上去有些奇怪，但邏輯上是完全可行的，高維比低維包含更多的信息，有可能將在低維上看不清或解決不了的問題給出答案。這個(gè)操作實(shí)際是升維，但升維的目的是解決低維的問題。針對(duì)上面提及的兩種改變維度的做法，筆者認(rèn)為，“降維打擊”這一概念都是適用的。以此為契機(jī)，本文將以物理學(xué)中常見的幾個(gè)問題：高斯積分、兩個(gè)矩陣乘積的行列式等于兩個(gè)矩陣行列式的乘積、量子力學(xué)中一維諧振子波函數(shù)的歸一化、物理學(xué)中常用的特殊函數(shù)或多項(xiàng)式的生成函數(shù)，展示在同維度的情況下難以解決的問題，可以通過變換一種思維方式，將問題向高維度轉(zhuǎn)化從而使問題能得以解決。在物理學(xué)教學(xué)中明確提出“降維打擊”這一概念，給學(xué)生種下發(fā)散思維的種子，以期提高學(xué)生的創(chuàng)新、思辨等能力。

1 高斯積分

在文獻(xiàn)[1]中，作者對(duì)物理學(xué)中常用的高斯及類高斯型積分進(jìn)行了詳述。作者也正是在文獻(xiàn)[1]中開始提及在當(dāng)前維度下如果解決不了問題時(shí)，可以發(fā)散性的將問題向高維轉(zhuǎn)化的這種想法。此為本文中強(qiáng)調(diào)的物理學(xué)中“降維打擊”這一概念的萌芽。

物理學(xué)中非常重要的高斯積分為

整個(gè)計(jì)算過程的關(guān)鍵是將高斯積分轉(zhuǎn)化成二維積分，即對(duì)問題進(jìn)行升維，借助高維的優(yōu)勢(shì)（此具體問題是能解析積分），完成對(duì)低維問題的求解。

高斯積分僅僅是積分類問題中的一個(gè)特例，更典型的是利用留數(shù)定理去計(jì)算一維實(shí)函數(shù)積分，這一過程是將一維積分轉(zhuǎn)化成二維復(fù)平面空間中的積分。

2 兩個(gè)矩陣乘積的行列式等于兩個(gè)矩陣行列式的乘積

矩陣在物理學(xué)與數(shù)學(xué)問題中均被廣泛地應(yīng)用。矩陣非常重要的性質(zhì)之一是兩個(gè)矩陣乘積的行列式等于兩個(gè)矩陣行列式的乘積，即

det（AB）=det（A）det（B） （4）

作為矩陣這一性質(zhì)的特例，在量子力學(xué)的矩陣表示中，如果存在兩個(gè)力學(xué)量算符彼此對(duì)易，則這兩個(gè)力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù)系，這兩個(gè)力學(xué)量的矩陣表示能同時(shí)對(duì)角化[2，3]。在他們的本征表象中，兩個(gè)力學(xué)量的矩陣表示是對(duì)角化的，完全滿足式（4）。作為對(duì)式（4）的一般性證明，線性代數(shù)書上是通過構(gòu)造更高維度的分塊矩陣，使矩陣A ，B 分別是對(duì)角線上的分塊矩陣[4]。此證明為線性代數(shù)書中的標(biāo)準(zhǔn)過程，在此我們不再重復(fù)。我們強(qiáng)調(diào)的是一般性證明中運(yùn)用的“降維打擊”的思維方式。

其他的特殊函數(shù)或多項(xiàng)式的生成函數(shù)就不在此羅列了?？梢钥闯?，特殊函數(shù)或多項(xiàng)式的生成函數(shù)的共性是自變量的個(gè)數(shù)比特殊函數(shù)或多項(xiàng)式的自變量多1。毋庸置疑的是在涉及特殊函數(shù)或多項(xiàng)式的計(jì)算過程中，其生成函數(shù)會(huì)頻繁使用，即“降維打擊”思想的運(yùn)用。

5 結(jié)語(yǔ)

在處理具體物理問題時(shí)，有時(shí)候需要“變多為少”，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維;而有的時(shí)候則需要“變少為多”，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行升維。那么什么時(shí)候該“降”，什么時(shí)候該“升”呢？ 降維的意義和應(yīng)用場(chǎng)景在當(dāng)前物理教材中已描述得很詳細(xì)，這里不再贅述。以文中所舉的幾個(gè)例子而言，筆者認(rèn)為以下幾種情況下可以考慮升維：（1）當(dāng)在低維空間中進(jìn)行數(shù)學(xué)分析遇到困難時(shí)，如高斯積分;（2）當(dāng)系統(tǒng)的行為和特征在低維空間中看不清楚時(shí)，如矩陣行列式性質(zhì)的一般性證明;（3）當(dāng)需要寫出系統(tǒng)不同狀態(tài)下的通項(xiàng)公式時(shí)，如波函數(shù)的歸一化系數(shù)和特殊函數(shù)的生成函數(shù)。當(dāng)然，在處理具體物理問題的時(shí)候，如何升維以及升維多少又是另外兩個(gè)非常關(guān)鍵的問題，其解決方案依賴于對(duì)物理問題的深刻認(rèn)識(shí)，有時(shí)也依靠直覺和運(yùn)氣。

本文通過討論物理學(xué)中對(duì)維度改變求解問題的現(xiàn)象，明確地將“降維打擊”這一概念引入物理學(xué)教學(xué)過程中，給學(xué)生種下發(fā)散思維的種子，以期提高學(xué)生的創(chuàng)新、思辨等能力，同時(shí)在物理學(xué)教育同行中起到拋磚引玉的作用，助力課堂教學(xué)。