撒克遜碗的下沉臨界條件與沉沒時間

李佳泓 林蘊芊 趙蕓赫 黃敏 馬宇翰

摘 要 “撒克遜碗”是一種底部有孔的計時裝置。本文以圓柱形撒克遜碗為例，建立了其在水中下沉的物理模型。首先，本文確定了撒克遜碗順利下沉的臨界條件，包括水能涌入碗的條件和碗初釋放時出現倒灌現象的條件。然后，本文研究了水涌入碗后系統的動力學過程，推導出碗的下沉時間與碗的幾何特征間的定量關系。進一步，本文設計了實驗以檢驗理論模型的正確性。與實驗得到的碗下沉時間相比，相應的理論值普遍偏小。將碗下沉過程中受到的黏滯阻力和壓差阻力、孔口處淹沒射流及水頭損失、碗完全浸沒前受表面張力的影響考慮在內后，理論和實驗的一致性明顯增加。最后，本文還引入了壁面函數用于分析形狀各異的撒克遜碗的下沉時間。

關鍵詞 撒克遜碗;臨界條件;孔口射流;表面張力;壁面函數

從古至今，時間的測量和記錄是人類文明中的重要一環。隨著對不同工具的開發使用，和對自然規律認識的加深，人們基于不同的物理原理發展了不同類型的計時器。在當今社會，計時已成為各種電子產品，智能設備的基本功能。在公元五世紀，撒克遜人、古代波斯人設計了一種計時裝置，他們將一個底部有洞的碗放在水中，通過觀察碗的下沉進行計時。這種被稱為“撒克遜碗”的裝置，其實是“水鐘”（clepsydra）的一種。這是一類用水流進行時間測量的工具，是古代世界重要的實用計時設備。水流進或流出不同盛放容器時，可以根據容器內水面高度等參數的變化確定時間。在計時機制上水鐘大致可分為兩種：漏刻型和入刻型[1]。本文所研究的“撒克遜碗”就是一種典型的“入刻型”計時器。

此前，撒克遜碗的計時特征已吸引了相當的研究興趣。例如，鐘書河山等通過較為簡單的物理模型，分析了撒克遜碗下沉時間與碗質量、缺口面積、液體密度的關系[2]。王幸等對撒克遜碗在下沉中的簡諧振動進行了修正，得到了對運動過程的簡單物理解釋[3]。此外，也有學者基于軟件仿真從數值上研究了這一問題[4]。值得一提的是，撒克遜碗要能夠實現計時功能，首先需要能在水中順利下沉。從受力平衡的角度來說，其下沉需要碗的幾何特征滿足特定條件。據筆者所知，這一對撒克遜碗而言重要的“臨界條件”還未被系統研究過。

本文從撒克遜碗的下沉出發，建立其在水中下沉的物理模型，討論了其順利下沉的“臨界條件”。然后，研究了水涌入碗后系統的動力學過程，推導出碗的下沉時間與碗的幾何特征間的定量關系，并在實驗中進行了驗證。研究發現由該理論模型計算得到的下沉時間普遍小于實驗值，因此進一步修正理論模型，將黏滯阻力、孔口淹沒射流、水頭損失、表面張力等因素考慮在內，結果表明理論和實驗的一致性明顯增加，從而使該模型可以更好地預測撒克遜碗的下沉時間。最后，由于撒克遜碗在實際應用中具有多種形狀，所以本文引入了壁面函數，以研究形狀各異的撒克遜碗的下沉時間。