等效庫侖荷分布計算方法及其應用

楊文娜 熊兆華

摘 要 滿足平方反比率的庫侖相互作用在場論中具有獨特的意義，高斯定理描述了三維空間矢量場源的屬性。本文把其他類型勢函數，如湯川勢、諧振子勢等轉換為等效庫侖荷分布，由此利用三維有源場滿足的高斯定理來計算空間中的場強以及其他相關物理量。本文也專門設計了一個均勻分布湯川荷的硬球散射例題來展示這種方法的優越性。雖然這種方法在具體計算工作量上沒有顯著改進，但是得到的等效庫侖荷分布在處理有體積粒子的時候會有更加清晰的物理圖像。轉換方法以及具體例題對拓展場論等相關課程教學有一定借鑒意義。

關鍵詞 庫侖勢;湯川勢;高斯定理

場論是物理學中表述物理現象和規律的重要理論。對于三維空間矢量場來說，場論主要研究其有源無源，有旋無旋的性質，即場的散度和旋度。描述電磁場理論的麥克斯韋方程組即可看作是關于電磁場的散度，旋度組成的方程組。相比于力學的瞬時性與超距作用，場論則體現了物理過程的局域性。除了物理概念上的革新外，相比于力學，場論方法在研究某些過程時有明顯的優越性。在電磁學的教學中，利用描述場散度的高斯定理，以及描述場旋度的斯托克斯定理，然后依據系統的對稱性可以求解場的強度、勢等重要物理量。這是一種非常重要的物理方法，因為實際物理場景的很多情況都可以看作是高度對稱性系統，如球對稱，柱對稱，平面對稱系統等。比如一個不規則形狀的帶電導體，如果距離這個導體足夠遠，就可以近似將其產生的電場看做是均勻帶電球產生的電場：而靠近導體表面的電場，又可以近似看做是無限大均勻帶電平面附近的電場。如果類似于力學的方法，采用庫侖定律處理靜電場會顯得很麻煩。在物理學史中，一個著名的例子就是在《自然哲學之數學原理》[1]一書中，牛頓花費了很大的力氣才證明均勻球殼對球殼內質點的引力為零，對殼外質點的引力可以看作是把球殼的質量都集中在球心位置處所產生的引力。如果采用場論的方法。依據球對稱性和高斯定理，可以非常快捷地得到相同結論。

作為描述有源場的高斯定理對我們理解場論有著重要的意義。場的有源或者無源性質實際上是利用滿足真空平方反比率的庫侖電荷來討論的。靜電平衡的導體電學特征就是建立在有源場高斯定理的基礎之上，點源的球對稱性加上高斯定理就可以得到庫侖平方反比率。通過測量靜電平衡導體內部電荷是否為零就可以檢驗平方反比率，進而檢驗高斯定理。這樣的檢驗遠遠比最初的庫侖扭秤實驗要精確。歷史上，卡文迪許在庫侖之前就利用測量靜電平衡導體內部電荷是否為零確定靜電力偏離平方反比率的指數偏差δ 的上限在2×10-2 左右[2]。后來麥克斯韋重新做了卡文迪許的實驗，進一步提高了精度，把偏差δ 上限降低到5×10-5 的數量級。后面不斷有物理學家重復測量靜電平衡導體內部電荷來探究靜電場的平方反比率的適用性。1971 年威廉姆斯（Williams）將偏差δ 上限縮小到（2.7±3.1）×10-16的數量級。可以說靜電場的平方反比率得到了嚴苛的檢驗。相應的庫侖勢，也就是與半徑成反比的勢函數，是描述靜電場的準確函數。從理論的角度看，高斯定理、場強的平方反比率以及庫侖勢是三維空間有源場的基本性質，如果空間是兩維或者四維的，則點源的平方反比率以及庫侖勢都將發生改變。因此高斯定理以及庫侖勢在三維空間場論中有其獨特意義。

拋開電磁理論，實際物理研究中，特別是在量子物理研究中，除庫侖勢之外還存在湯川勢，諧振子勢等其他類型勢函數。研究這些非庫侖勢的性質時，如果直接利用勢函數求解相關問題，某些情況會特別麻煩。這是因為非庫侖勢相關的場論不再滿足高斯定理，點源與空間的場之間的關系就復雜很多。為了解決這個問題，本文討論一種把其他類型荷分布及勢函數轉換為庫侖荷分布及庫侖勢的方法：即依據場論知識，我們可以對非庫侖勢求梯度得到場分布。再對場求散度得到荷分布。用這種方法求得的荷分布是一種等效的庫侖荷分布，利用等效庫侖荷分布以及高斯定理求解問題會使相關問題得到意想不到的化簡。我們將在論文第二部分以湯川勢為例來說明如何使用該方法，在第三部分給出使用該方法解決問題的一個具體例子均勻帶湯川荷球的散射問題，最后給出本文的結論。