基于跳躍-擴散過程的股票期權定價分析

楊德林 馬梓鈞 唐之祺 張余萍

摘? 要：該文研究股票價格服從跳躍-擴散過程時的股票期權定價問題。金融市場的不斷發展涌現出眾多的金融理財產品，傳統股票期權定價模型難以合理描述突發性的股票價格變動，而在實際情況中股票價格因受國際局勢、地區政策以及突發問題等影響會急劇性上漲或下跌，因此傳統股票期權定價模型對于實際金融市場缺乏一定的適用性。基于此，該文通過股票價格的跳躍-擴散過程，利用鞅方法將股票定價問題轉化為期望求解問題，推導出股票價格行為服從跳躍-擴散過程的期權定價公式。

關鍵詞：股票期權定價? 跳躍-擴散過程? 隨機微分方程? 計數過程

中圖分類號：F830;F224? 文獻標識碼：A

Abstract： This paper studies stock option pricing when the stock price is subject to the jump-diffusion process. With the continuous development of the financial market， a large number of financial products have emerged， the traditional stock option pricing model is difficult to reasonably describe the sudden changes in stock prices， and in the actual situation， the stock price will rise or fall sharply due to the influences of international situation， regional policies and unexpected problems， so the traditional stock option pricing model lacks certain applicability to the actual financial market. Based on this， through the jump-diffusion process? of stock prices， this paper uses the martingale method to transform the stock pricing problem into the expectation solution problem， and derives the option pricing formula that the stock price behavior is subject to the jump-diffusion process.

Key Words： Stock option pricing; Jump-diffusion process; Stochastic differential equation; Counting process

1973年Fischer Black和Myron Scholes [1]共同發表的研究結果，提出符合金融市場規律的Black-Scholes期權定價模型，該模型一經提出便引起證券交易商的廣泛關注，被用于計算金融衍生品（期權）的價值，并給出了相應的看漲期權定價公式，指出美式看漲期權與歐式看漲期權二者的價值是相同的，而對于歐式看跌期權則僅需對公式做簡單修改。在Black-Scholes期權定價模型發表之后，根據這一模型用于計算期權價值的計算器被從事期權交易工作的經紀人廣泛使用，以此對交易進行估價，這使得期權交易更富效率，一定程度上促進了金融市場的發展。先進的技術以及新的金融工具的產生，加強了投資者與金融市場之間的聯系，越來越多的投資者參與到市場中來，促使市場向多元化、全球化方向發展，因而金融市場的發展受到多方面因素的影響。

傳統金融資產收益和股票價格模型服從幾何布朗運動，然而在實際的金融市場中，通過觀察股票價格行為過程發現：除了股票因正常交易所引起的股價小幅度變化外，在受到國際局勢、地區政策以及突發問題等重大因素影響時，股票價格會在局部表現出急劇性上漲或下跌。為了更好地描述股票價格行為過程，Robert C. Merton[2]對Black-Scholes期權定價模型做出進一步完善，建立起基于跳躍-擴散過程的股票期權定價模型。近些年，隨著金融市場的不斷發展，出現了許多新型的金融衍生品，期權作為一種衍生性金融工具，其理論研究的重點是如何確定復雜因素影響的期權價值，然而傳統的股票期權定價模型對當下的金融市場缺乏一定的適用性，考慮到幾何布朗運動難以合理描述股票價格行為，假定股票價格行為服從跳躍-擴散過程，用于描述股票價格的急劇變化，這一思想在股票期權定價問題中得以廣泛應用。梁紅楓等[3]研究了考慮重大信息對股票價格行為過程影響的隨機微分方程

其中，股票價格沒有發生跳躍時，股票收益率的方差，。在風險中性假設下推導出歐式期權定價公式。對于幾何布朗運動模型的缺陷，趙萍萍[7]和余湄等[8]分別利用分數布朗運動模型和混合次分數布朗運動來加以解決。對于更為復雜的期權定價問題，楊文昇[9]利用連續時間馬氏鏈近似方法，得到期權定價的近似解析公式。雷子琦和周清[10] 利用不確定理論對期權定價展開研究，假設股票價格滿足Caputo型的不確定分數階微分方程，且隨機利率滿足隨機微分方程，得出蝶式期權和歐式價差期權的定價公式。在期權定價領域，影響期權價格的因素也是學者研究的對象，自Black-Scholes模型提出以來，波動率和利率的相關問題一直被學者探討[11]。得益于計算機技術的發展，在討論波動率問題時，利用計算機重建局部波動率函數，該函數提供了理論和市場期權價格之間的最佳擬合，準確地反映了真實的市場波動性[12]。

該文假定股票價格服從跳躍-擴散過程，通過可描述股票價格行為過程的隨機微分方程，對股票價格行為展開分析，通過求解方程得出股票期權定價公式。

1 預備知識

若有一只股票表現出如下趨勢：即在某一個時間段趨于上漲（下跌），則在此之后該股票往往會出現下跌（上漲）的趨勢。這也從側面反應出股票價格的變化是難以預測的，而在實際的股票市場中，股票價格很少表現出回歸均值行為，股票價格的變化往往是隨機的，通常在考慮這種變化時將其與時間聯系起來。股票價格的變化是一個時間連續、狀態離散的過程，在研究離散隨機過程時，計數過程在可靠性工程得到廣泛運用，其中泊松過程是最重要的計數過程之一，對此做如下定義。

2 結語

傳統的股票期權定價模型難以較好地描述重大信息對于股票價格的影響以及突發性的股價變動。不僅如此，金融市場的發展也使得傳統股票期權定價模型缺少一定的適用性，而將股票價格行為過程與跳躍-擴散過程相結合在一定程度上彌補了這一缺點，不僅保留了傳統模型中股票價格變化規律服從幾何布朗運動的特點，還考慮到局部突發性的股價大幅度變化出現的可能，隨著金融市場不斷發展與完善，更加符合市場規律的股票期權定價模型將被推廣與使用，對于跳躍-擴散過程的研究也將越發深入，對于股票期權的價格行為過程或許會有新的研究方法。該文通過對股票價格行為過程的研究，推導得出基于跳躍-擴散過程的看漲期權簽約時的價格公式以及時刻的看漲期權價格公式，這在實際投資中具有一定的指導意義。

然而，對于金融市場的研究不應止步于此，故步自封就等于落后，金融市場的發展還存在不足，許多潛在問題還有待完善。基于經濟全球化的時代背景，實際證券交易市場的影響因素越發錯綜復雜，近些年在研究股票期權定價問題上研究者們提出了新的思路和方法，股票期權定價模型也得以進一步完善，也表明期權定價理論仍存在發展空間。目前國內金融市場還處于發展階段，國內國際雙循環新發展格局的加速形成迎來了金融市場高質量發展的關鍵時期，股票市場交易活躍度，投資者開戶數量不斷增長，個人投資者和一般企業為股票市場注入活力，也推動著股票市場的進一步完善，但投資者對于市場的推動作用相對有限，需要政府和專業機構介入市場以引導市場邁上發展新臺階。

參考文獻

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基金項目：西北民族大學大學生創新創業訓練計劃資助項目（項目編號：X202210742179）。

作者簡介：楊德林（2001—），男，本科在讀，研究方向為數學與應用數學。