直線、平面垂直的判斷及性質中的數學素養

■石漢榮 劉大鳴(特級教師)

以立體幾何的定義、公理和定理為出發點,認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理,運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的垂直關系,凸顯邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養。

一、與線、面垂直相關命題的判斷

例1下列命題中錯誤的是( )。

A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內一定存在直線平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β,那么平面α內所有直線都垂直于平面β

解析

對于A,設平面α∩β=a,設b?α,且b//a,顯然直線b?β,根據線面平行的判定定理得b//β,A 正確。對于B,如果α內存在直線與β垂直,則由面面垂直的判定定理知平面α⊥β,這與已知矛盾,B 正確。對于C,設平面α∩γ=a,平面β∩γ=b,在平面γ內作直線m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性質定理得m⊥α,n⊥β,由直線l?α,l?β,可得m⊥l,n⊥l,由α∩β=l,可得m,n為相交直線,所以l⊥平面γ,C 正確。對于D,平面α⊥β,設平面α∩β=a,在平面α內與a平行的直線都不與平面β垂直,D 錯誤。應選D。

素養：與線、面垂直的相關命題的真假判斷問題,正確的需說明原因,不成立舉出反例即可。線線、線面、面面垂直的五個常用結論:若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內的任意直線;若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面;垂直于同一條直線的兩個平面平行;一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直;兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面。

二、直線與平面垂直的判斷與性質

例2如圖1,已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,那么點P到平面ABC的距離為_____。

圖1

解析

過點P作PD,PE分別垂直于AC,BC于D,E,作PO⊥平面ABC于O。

因為PO⊥平面ABC,所以PO⊥AC,所以AC⊥平面POD,所以AC⊥OD。同理,BC⊥OE。所以四邊形CDOE是矩形。

素養：證明直線和平面垂直的四種常用方法:判定定理;平行線的傳遞性(a//b,a⊥α?b⊥α);面面平行的性質(a⊥α,α//β?a⊥β);面面垂直的性質。證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質。

三、平面與平面垂直的判斷與性質

例3如圖2,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點,P為AM上一點。過B1C1和點P的平面交AB于E,交AC于F。

圖2

證明:AA1//MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F。

證明：因為M,N分別為BC,B1C1的中點,所 以MN//BB1。又AA1//BB1,所 以MN//AA1。

在等邊△ABC中,M為BC中點,則BC⊥AM。因為側面BB1C1C為矩形,所以BC⊥BB1。因 為MN//BB1,所 以MN⊥BC。由MN∩AM=M,MN,AM?平面A1AMN,可得BC⊥平面A1AMN。

因為B1C1//BC,且B1C1?平面ABC,BC?平面ABC,所以B1C1//平面ABC。因為B1C1?平面EB1C1F,且平面EB1C1F∩平面ABC=EF,所以B1C1//EF,所以EF//BC。又因為BC⊥平面A1AMN,所以EF⊥平面A1AMN。

因為EF?平面EB1C1F,所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN。

素養：在垂直關系的證明中,線線垂直是證明的核心,可以根據已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直,也可以根據已知的垂直關系證明線線垂直。判斷面面垂直的兩種方法:面面垂直的定義;面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)。

感悟與提高

若點P是兩條異面直線l,m外的任一點,則( )。

A.過點P有且僅有一條直線與l,m都平行

B.過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直

C.過點P有且僅有一條直線與l,m都相交

D.過點P有且僅有一條直線與l,m都異面

提示:過點P與l,m都平行的直線不存在;過點P與l,m都垂直的直線只有一條;過點P與l,m都相交的直線最多有一條;過點P與l,m都異面的直線有無數條。應選B。