“三個基本事實”快樂導學

■王佩其

“三個基本事實”刻畫了平面的性質,是論證立體幾何位置關系的基石,是立體幾何學習不可忽視的重要內容。

一、把握“三個基本事實”的表述與作用

基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面。作用:一是確定平面;二是證明點、線共面問題;三是判斷兩個平面重合的依據。

基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內。作用:既可判斷直線和點是否在平面內,又能說明平面是無限延展的。

基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。作用:判斷兩平面相交的依據;判斷點在直線上的依據。

二、證明點、線共面

例1(1)如圖1,已知A,B,C,D,E是空間的五個點,且線段CE、AC和BD兩兩相交,求證:A,B,C,D,E這五個點在同一平面內。

圖1

(2)如圖2,已知A,B,C,D是空間的四個點,且點A,B,C在同一直線l上,點D不在直線l上。求證:直線AD,BD,CD在同一平面內。

圖2

證明：(1)設CE∩BD=M,CA∩BD=N。因為CA∩CE=C,所以CA,CE確定一個平面α。

因為M∈CE,所以M∈α。同理N∈α。所以直線MN即直線BD?α,所以B∈α,D∈α。故A,B,C,D,E這五個點在同一平面內。

(2)因為點A,B,C在同一直線l上,點D不在直線l上,所以點A,B,D確定唯一平面α,所以l?α。因為C∈l,所以C∈α。

因為A,B,C,D∈α,所以AD?α,BD?α,CD?α,故直線AD,BD,CD在同一平面內。

方法點撥：證明點、線共面問題的兩種常用方法:先由部分點、線確定一個面,再證其余的點、線都在這個平面內,即為“納入法”;先由其中一部分點、線確定一個平面α,其余點、線確定另一個平面β,再證平面α與β重合,即為“同一法”。

三、證明點共線、線共點問題

例2(1)如圖3,已知△ABC的三個頂點都不在平面α內,它的三邊AB,BC,AC延長后分別交平面α于點P,Q,R,求證:P,Q,R三點在同一條直線上。

圖3

圖4

證明：(1)已知AB的延長線交平面α于點P,根據基本事實3,平面ABC與平面α必相交于一條直線,設為直線l。

因為P∈直線AB,所以P∈平面ABC。又因為AB∩α=P,所以P∈平面α,所以P是平面ABC與平面α的公共點。

因為平面ABC∩α=l,所以P∈l。同理可得Q∈l,R∈l。

故P,Q,R三點在同一條直線上。

同理,P∈平面BCD。

又因為平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以EH,BD,FG三條直線相交于同一點P。

方法點撥：證明多點共線問題,可證明點分別在兩個平面內,再證明點在兩個平面的交線上,也可選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其他點也在這條直線上;證明三線共點問題,可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點,再證點重合,從而得三線共點。