空間幾何體中最值問題的常用求法

■廖子宜

立體幾何中的最值問題主要與空間圖形的距離、角、面積、體積有關,是高考命題的熱點。此類問題涉及知識面較廣,靈活性較大,常用的求法有:二次函數性質法、基本不等式法、射影法、兩點之間線段最短法、垂線段最短法、三角函數性質法等。

一、二次函數性質法

例1如圖1,一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,其中有一個高為xcm 的內接圓柱。當x取何值時,圓柱的側面積最大?等式逆用為:a,b∈R+,當且僅當a=b時等號成立。

圖1

三、射影法

例3如圖2,棱長為1 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,若G,E分 別 是BB1,C1D1的中點,點F是正方形ADD1A1的中心,則四邊形BGEF在正方體側面及底面共6 個面內的射影圖形的面積的最大值是

圖2

____。

解：顯然,四邊形BGEF在前后側面上的射影圖形的面積相等。易知點E在前面平面上的射影是A1B1的中點E1,點F在前面平面上的射影是AA1的中點F1,可得四邊形BGE1F1的面積為。同理可得,四邊形BGEF在左右側面上的射影圖形的面積相等且等于;在上下底面上的射影圖形的面積相等且等于。故四邊形BGEF在前后側面上的射影圖形的面積最大,其最大值為。

評注：解題的關鍵是找到四邊形BGEF四個頂點在各個面上的射影點的位置,再根據正方體的性質計算其面積。

四、兩點之間線段最短法

例4如圖3 所示,已知圓柱的高為80cm,底面半徑為10cm,軸截面上有P,Q兩點,且PA=40cm,B1Q=30cm,若一只螞蟻沿著側面從P點爬到Q點,則螞蟻爬過的最短路徑長為_____。

圖3

解：將圓柱側面沿母線AA1展開,得到如圖4所示的矩形。

圖4

易得A1B1=10π。過點Q作QS⊥AA1于點S,在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10,QS=A1B1= 10π,所 以PQ=,即螞蟻爬過的最短路徑長是cm。

評注：求幾何體表面上兩點間的最小距離,可將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開,畫出其側面展開圖,把求曲線長問題轉化為求平面上的線段長問題。

五、垂線段最短法

例5如圖5,在棱長為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,則點P到直線CC1的距離的最小值為______。

圖5

解：過E作EE1⊥底 面A1B1C1D1交B1C1于E1,過P作PH⊥D1E1于H。連接C1H,作PP1⊥CC1于P1。

易知四邊形PP1C1H是矩形,點P在線段ED1上運動,點P到直線CC1的距離是C1H。當C1H為 Rt △C1D1E1的 底 邊D1E1上的高時,C1H最小,記高為h。

評注：當點P在D1E上移動時(不含端點),四邊形PP1C1H一定是矩形;當點P與D1或E重合時,點P到直線CC1的距離的最小值為C1D1或CE,此時顯然不是最小值。

六、三角函數性質法

例6如圖6 所示,邊長AC=3,BC=4,AB=5 的三角形簡易遮陽棚,其A,B是地面上南北方向兩個定點,正西方向射出的太陽光線與地面成30°角,當遮陽棚ABC與地面的夾角等于____時,才能保證所遮影面ABD的面積最大。

圖6

解：易知△ABC為直角三角形。在平面ABC內,由C向AB引 垂 線,垂 足 為Q,則DQ為CD在地面上的射影,且AB⊥平面CQD。因為太陽光與地面成30°角,所以∠CDQ=30°。