立體幾何中軌跡問題的處理技巧與方法

■陳 婷

立體幾何中的軌跡問題,是立體幾何與解析幾何的知識交匯點。這類問題,立意新穎,重視不同知識的交叉與滲透,重視對數學知識與數學能力的考查與應用,是培養同學們數學核心素養的好素材。

一、直接法

直接法就是直接利用立體幾何的相關知識,合理分析和研究問題中各個元素之間的關系,或者直接利用軌跡定義進行求解的方法。

例1如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側面BCC1B1上的一個動點,若點P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點P的軌跡是下列哪種線的一部分( )。

圖1

A.直線 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

分析：根據題設條件,利用空間點線面的位置關系,直接得到動點P到直線BC與到點C1的距離相等,再結合解析幾何中拋物線的定義,可得對應的答案。

解：根據正方體的性質,可知C1D1⊥平面BCC1B1,所以動點P到直線C1D1的距離與到點C1的距離相等。又動點P到直線BC與到直線C1D1的距離相等,所以動點P到直線BC與到點C1的距離相等。根據拋物線的定義,可得動點P的軌跡是一條拋物線的一部分。應選D。

二、轉化法

轉化法就是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題,進行合理“降維”處理,進而應用平面幾何、解析幾何等相關知識來分析與求解的方法。

例2(2022年高考北京卷)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內部的點構成的集合。設集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區域的面積為( )。

三、解析法

解析法就是利用解析幾何在研究軌跡方面的一整套比較完整的理論體系,通過坐標法進行代數運算與邏輯推理的一種求軌跡的方法。解析法是解決立體幾何圖形的二維軌跡問題的常用方法之一。

例3(多選題)如圖2 所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的 中 點,點P在底面ABCD內運動,若PD1,PE與底面ABCD所成的角相等,則動點P的軌跡是( )。

圖2

A.圓的一部分

B.橢圓的一部分

C.經過線段BC靠近B的三等分點

D.經過線段CD靠近C的三等分點

分析：根據題意得DP=2PC,以點D為坐標原點,建立平面直角坐標系,通過坐標法進行討論求解。

解：由正方體的性質得DD1⊥平面ABCD,EC⊥平 面ABCD,所 以∠DPD1,∠CPE分別為PD1,PE與底面ABCD所成的角,所以∠DPD1=∠CPE。

圖3

四、性質法

性質法就是利用軌跡的相關知識來解決立體幾何中軌跡問題的一種基本方法。有些空間圖形的軌跡不一定是二維的,轉化為平面問題比較困難,這時可借助性質法來處理。

例4已知棱長為3 的正方體ABCDA1B1C1D1中,長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動,另一個端點N在底面ABCD上運動,則線段MN的中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為____。

分析：不論△MDN如何變化,點P到點D的距離始終等于1。從而點P的軌跡是一個以點D為球心,半徑為1 的球的,由此可求出體積。

解：如圖4 所示,端點N在正方形ABCD內運動。

圖4