例說求異面直線所成角或角的三角函數值的方法

■胡景月

異面直線是空間中兩條直線的位置關系的特殊情況,求異面直線所成角的關鍵是尋找異面直線所成角的平面角。下面舉例分析求異面直線所成角的幾種方法,供大家學習與參考。

一、勾股定理法

例1如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是CD、CC1的中點,則異面直線A1M與DN所成角的大小是( )。

圖1

A.30° B.45°

C.60° D.90°

解：設E為CN的中點。因為M是CD的中點,所以ME//DN,所以A1M與DN所成的角即為A1M與ME所成的角,即∠A1ME。令正方體的棱長為2,則A1M=3,。在△A1ME中,A1M2+ME2=A1E2,所以A1M⊥ME,所以∠A1ME=90°,所以異面直線A1M與DN所成角的大小是90°。應選D。

評注：利用勾股定理,既可以判斷三角形是直角三角形,也可以作為直角三角形的性質進行應用。

二、余弦定理法

例2如圖2,圓錐的底面直徑AB=2,其側面展開圖為半圓,底面圓的弦AC=1,則異面直線AC與SB所成角的余弦值為____。

圖2

評注：根據定義將異面直線所成的角轉化為三角形中的一個角,再結合余弦定理求得結果。

三、三角函數定義法

例3在正四棱錐P-ABCD中,若側面與底面所成二面角的大小為60°,則異面直線PA與BC所成角的正切值等于____。

解：取AD的中點E,作PO⊥平面ABCD,如圖3所示。

因為PE⊥AD,OE⊥AD,所以∠PEO為側面與底面所成二面角的平面角,則∠PEO=60°。設AB=2,則EO=1,PE=2,AE=1。因為BC//AD,所以∠PAD為異面直線PA與BC所成的角。據此可得tan∠PAD=。

評注：根據定義將異面直線所成的角轉化為直角三角形中的一個銳角,再結合三角函數的定義求得結果。

四、特殊點法

例4 如圖4,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中點,P是底面ABCD內(包括邊界)的一個動點,若MP//平面A1BC1,則異面直線MP與A1C1所成角的取值范圍是。

圖4

解：取AD中點E,DC中點F,取EF的中點O。在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的 中 點,所 以ME//BC1,MF//A1B。因為ME?平面A1BC1,A1B,BC1?平面A1BC1,所以ME//平面A1BC1。同理可得MF//平面A1BC1。

因為ME∩MF=M,ME,MF是平面EFM內兩相交直線,所以平面A1BC1//平面EFM。

因為P是底面ABCD內(包括邊界)的一個動點,MP//平面A1BC1,所以P的軌跡是線段EF。因為ME=MF=EF,O是EF的中點,所以OM⊥EF。因為EF//A1C1,所以OM⊥A1C1,所以當P與O重合時,異面直線MP與A1C1所成的角取最大值

因為ME=MF=EF,P是EF上的動點,EF//A1C1,所以當P與E或F重合時,異面直線MP與A1C1所成的角取最小值。故異面直線MP與A1C1所成角的取值范圍是。

評注：解題的關鍵是確定點P的軌跡是線段EF,當P與O重合時,異面直線MP與A1C1所成角取最大值,當P與E或F重合時,異面直線MP與A1C1所成角取最小值。

感悟與提高

如圖5,在四面體ABCD中,E,F分別是AC,BD的中點,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,則EF與CD所成角的大小為_____。

圖5