點線面位置關系探究中的多種思維方法

■王小麗

高考對立體幾何的考查始終圍繞“空間問題平面化、模型化和代數化”展開,借助熱點問題探究求解中的“多種思維方法”,可以提高“構建函數模型、直觀想象、邏輯推理、合理運算”等核心素養。

熱點1：正方體“截面最值”求解中的多種思維方法

例1已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為____。

解法1：直接作截面構建目標函數求最值。如圖1,平面A1C1B與每條棱所成的角相等,這時符合題意。現把平面A1C1B平移,得到如圖2所示的六邊形EFGHMN,下面求截面EFGHMN的面積的最大值。

圖1

圖2

設A1N=x,則EN=,MN=。根據對稱性可知EF=(1-x),FG=x。

如圖3,延長EN,HM相交于點P,延長EF,HG相交于點Q。

圖3

由相似比可得PN=PM=(1-x),QF=QG=。

易得∠HEF=∠EHG=60°,可知△EHQ和△EHP為 等 邊 三 角 形,所 以S六邊形EFGHMN=S△EHP+S△EHQ-S△PMN-S△FGQ。

解法2：由特殊位置確定其最大值,如圖4。

圖4

由題設可知,截面α應與正方體的體對角線垂直,當平面α平移至截面為正六邊形時,其面積最大,這時正六邊形的邊長為。易得最大面積為

友情提醒：求正方體的截面最值的方法常用特殊位置法,這種方法解題簡捷明快,但需要有一定的解題經驗,特別是解答選擇題,這種方法值得同學們重視。

熱點2：異面直線所成角求解中的多種思維方法

例2如圖5,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= 3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為_____。

圖5

解法1：平移法求異面直線所成的角。在長方體ABCD-A1B1C1D1中,取E為B1A1的中點,F為AD1與A1D的交點。由幾何關系可知,DB1//FE,所以∠EFA=θ為

解法2：補形法求異面直線所成的角。在長方體ABCD-A1B1C1D1的右側補一個完全相同的長方體DD1C1C-FGHE,如圖6。

圖6

友情提醒：幾何法求異面直線所成的角,通過“直接平移或補形平移”得到兩條異面直線的夾角或其補角,切記異面直線所成角的取值范圍為(0°,90°]。

熱點3：直線與平面所成角求解中的“幾何法和間接法”

例3如圖7,四邊形ABCD為正方形,E,F分別是AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF。

圖7

(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD。

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解：(1)由折疊前后不變的線線垂直關系得BF⊥PF,BF⊥EF。因為PF∩EF=F,所 以BF⊥平 面PEF。又BF?平 面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD。

(2)(方法1)利用幾何法求線面角。作PH⊥EF,垂足為H。由(1)知平面PEF⊥

友情提醒：解答這類問題,關鍵是把握折疊前后線段長度,以及線線垂直關系的變化。無論是幾何法求線面角,還是等積法求線面角,其解題的根本是在三角形中進行的。