淺淡線面平行的證明方法

■田延蘭

直線與平面平行是立體幾何中的重要內容,也是高考的常考點。下面介紹線面平行常見的五種證明方法,供大家學習與參考。

方法一：利用幾何體的性質

例1如圖1,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,下列直線與平面AD′C平行的是( )。

圖1

A.B′C′ B.A′BC.A′B′ D.BB′

解析

因為A′B//CD′,A′B?平面AD′C,CD′?平面AD′C,所以A′B//平面AD′C。應選B。

評析：長方體相對的面(長方形)互相平行,這兩個相對的長方形中對應線段平行且相等。

方法二：利用三角形的中位線

例2如圖2,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,P為平面ABC外一點,E,F分別是PA,PC的中點。記平面BEF與平面ABC的交線為l。

圖2

求證:直線l//平面PAC。

證明：因為E,F分別是PA,PC的中點,所以EF//AC。又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF//平面ABC。而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF//l。因為l?平面PAC,EF?平面PAC,所以l//平面PAC。

評析：三角形的中位線平行于底邊且等于底邊長的一半。

方法三：構造平行四邊形

例3如圖3,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,D,E分別是AB,B1C的中點。PC上能否找到一點E,使得BE//平面PAD。若能,請確定點E的位置,并給出證明;若不能,請說明理由。

圖3

解析

如圖4,在PC上取點E,使,則BE//平面PAD。

圖4

證明如下。延長DA和CB交于點F。

方法五：利用平面與平面平行的性質

例5如圖5,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,側面對角線AB1,BC1上分別有兩點E,F,且B1E=C1F。求證:EF//平面ABCD。

圖5

證明：過E作EG//AB交BB1于點G,則

因為B1E=C1F,B1A=C1B,所以,所 以FG//B1C1//BC。易 得EG//平面ABCD,FG//平面ABCD。

因 為EG∩FG=G,EG,FG?平 面EFG,所以平面EFG//平面ABCD。又因為EF?平面EFG,所以EF//平面ABCD。

評析：線線平行,線面平行,面面平行是可以相互轉化的,要特別注意線面平行關系的證明。

感悟與提高

1.如圖6,四棱錐P-ABCD中,M,N分別為AC,PC上的點,且MN//平面PAD,則( )。

圖6

A.MN//PDB.MN//PA

C.MN//ADD.以上均有可能

提示:因為MN//平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,MN?平面PAC,所以MN//PA。應選B。

2.現有下列說法:①若直線a在平面α外,則a//α;②若直線a//b,直線b?α,則a//α;③若直線a//b,b?α,那么直線a平行于平面α內的無數條直線。

其中說法正確的個數為( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

提示:對于①,直線a在平面α外包括兩種情況,即a//α或a與α相交,所以a和α不一定平行。對于②,由直線a//b,b?α,只能說明a和b無公共點,但a可能在平面α內,所以a不一定平行于α。對于③,由a//b,b?α,可知a?α或a//α,這時a與平面α內的無數條直線平行。應選B。