非線性微分方程部分變量的實(shí)用穩(wěn)定性研究

牛曄

摘要：隨著運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的發(fā)展，部分變量的實(shí)用穩(wěn)定性更能切合實(shí)際反映系統(tǒng)的本質(zhì)，因此研究系統(tǒng)的這一性質(zhì)具有重要意義。本文將部分變量實(shí)用穩(wěn)定性相關(guān)理論推廣至帶有反饋控制的非線性微分方程。給出系統(tǒng)相應(yīng)的部分變量實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定性定義，根據(jù)Lyapunov函數(shù)建立部分變量實(shí)用穩(wěn)定性的充分條件和判定定理，最后結(jié)合具體算例驗(yàn)證結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：?-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定?Lyapunov函數(shù)?反饋控制?非線性微分方程

中圖分類(lèi)號(hào)：O175????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Research?of?the?Practical?Stability?of?Partial?Variables?of?Nonlinear?Differential?Equations

NIU?YE

（School?of?Mathematics?and?Computer?Science，?Shanxi?Normal?University，?Taiyuan，?Shanxi?Province，?030031?China）

Abstract：?With?the?development?of?the?theory?of?stability，?the?practical?stability?of?partial?variables?can?more?practical?and?reflect?the?essence?of?the?system，?so?it?is?of?great?significance?to?study?this?property?of?the?system.?This?paper?promotes?the?relevant?theory?of?the?practical?stability?of?partial?variables?to?nonlinear?differential?equations?with?feedback?control，?gives?the?definition?of?the?corresponding?practical?exponential?stability?of?partial?variables?of?the?system，?establishes?sufficient?conditions?and?determination?theorems?for?the?practical?stability?of?partial?variables?according?to?the?Lyapunov?function，?and?finally?verifies?the?validity?of?results?by?specific?examples.

Key?Words：-practical?exponential?stability;?Lyapunov?function;?Feedback?control;??Nonlinear?differential?equations

1892年，Lyapunov建立了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論并提出了函數(shù)直接方法，為動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的研究奠定了基礎(chǔ)。然而對(duì)系統(tǒng)而言，各個(gè)變量的性質(zhì)存在差異，對(duì)于某些變量可能是穩(wěn)定，另一些則可能是不穩(wěn)定的，也可能有的變量是漸近穩(wěn)定，有的是指數(shù)穩(wěn)定[1]。因此，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論圖密切葉夫等人開(kāi)始了系統(tǒng)部分狀態(tài)變量的理論研究[2]。

隨著穩(wěn)定性理論在工程等領(lǐng)域的深入和發(fā)展，相繼在微分方程的穩(wěn)定性研究中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的初始狀態(tài)與理想狀態(tài)很難達(dá)到任意小，而在實(shí)際情況中也是不必要的，保持在允許的誤差范圍內(nèi)即可，進(jìn)而建立了實(shí)用穩(wěn)定性理論[3-5]，應(yīng)用于火箭系統(tǒng)、宇宙裝置的飛行等相關(guān)問(wèn)題中。

部分變量的實(shí)用穩(wěn)定性研究的是方程的解的部分變量的穩(wěn)定性性態(tài)，初始狀態(tài)在某個(gè)鄰域內(nèi)而不要求系統(tǒng)有平衡點(diǎn)，該理論在實(shí)際中能更好地反映系統(tǒng)的本質(zhì)[6-8]。然而，目前關(guān)于部分變量的實(shí)用穩(wěn)定性研究成果較少，因此本文將部分變量的實(shí)用穩(wěn)定性推廣到帶有反饋控制的非線性系統(tǒng)中，初始狀態(tài)在鄰域中，給出相應(yīng)部分變量的實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定性定義，通過(guò)Lyapunov函數(shù)建立部分變量全局實(shí)用穩(wěn)定性的充分條件及判定定理，最后給出算例進(jìn)行結(jié)果的驗(yàn)證。

1 ?預(yù)備知識(shí)

1.1非線性微分方程

給定主要研究的帶有反饋控制的非線性微分方程：

其中，，，。對(duì)于，，是上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于，，使得，。其中部分變量的范數(shù)定義為：

是狀態(tài)空間，，，為歐式范數(shù)[9]。對(duì)于，函數(shù)滿足，在以為半徑的球形鄰域，[7]。

1.2相關(guān)定義

定義?1???是關(guān)于部分變量全局一致實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，，若，，使得對(duì)于，，滿足：

那么式（1）是在反饋控制下全局一致-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2?若嚴(yán)格遞增，，稱(chēng)連續(xù)函數(shù)是類(lèi)函數(shù)。若當(dāng)，，，稱(chēng)[5]。

定義3[9]?函數(shù)是-正定的，若存在使得對(duì)于任意的，有，。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式如下：

定理1??假設(shè)式（1）存在反饋控制和連續(xù)函數(shù)，，，為類(lèi)函數(shù)，，，存在正實(shí)數(shù)使得下面不等式成立：

條件1??，

則式（1）是在下全局一致-實(shí)用漸近穩(wěn)定的，其中。證明過(guò)程類(lèi)似定理2。

定理2??為指數(shù)反饋控制，函數(shù)，，，存在正實(shí)數(shù)，，，使得：

條件1??，

條件2??，

則式（1）是在下全局一致-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，其中。

證：由定理2的條件1可知：

根據(jù)上述不等式和定理2的條件2得到：

利用微分不等式的求解方法可計(jì)算出：

其中：，結(jié)合條件1，?得到：

則關(guān)于部分變量全局一致實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，式（1）是全局-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，。

定理3??為指數(shù)反饋控制，函數(shù)，存在正實(shí)數(shù)，，，，有如下不等式：

條件1??，

其中，需滿足：，存在實(shí)數(shù)，。則式（1）是全局一致-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，其中。

證：根據(jù)定理3中條件1可以得到：

結(jié)合定理3的條件2，推出：

再由條件1，可得：

結(jié)合的不等式，得出：

綜上所述，說(shuō)明是全局一致-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，那么式（1）是全局一致-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的，，結(jié)論即可得證。

3 ?應(yīng)用舉例

例子：考慮如下帶有反饋控制的非線性微分方程：

綜上可以得到定理3中相關(guān)系數(shù)，，，，，符合定理3的條件，說(shuō)明是全局一致實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定，那么式（13）是全局一致-實(shí)用指數(shù)穩(wěn)定的。

參考文獻(xiàn)[1] 蹇繼貴，廖曉昕.非線性時(shí)變系統(tǒng)的部分指數(shù)穩(wěn)定性分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005（2）：304-307.