與“兔”有關的數學問題

蘇青

“兔”伴有善美、祥和之意，常出現在民間傳說、文學作品和造型藝術中，代表著人們對美好生活的向往。兔年說兔，我們來說點不一樣的，談談與兔子相關的三個數學問題吧。

“雞兔同籠”

這是中國古代著名的數學趣題之一，載于公元四五世紀成書的《孫子算經》。書中寫道：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”作者給出了“上置”“下置”兩種解法，后人則找到了更多的有趣解法，如“假設法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩陣法”“雞翅法”等。如果運用代數方程式來求解，就更簡單了。

“雞兔同籠”還可演進為變量不是整數或變量不止2個的幾十種同類問題，解題雖復雜一些，但思路大致相同。通過運用不同的方法解答不同的“雞兔同籠”問題，無疑可提高青少年的邏輯推理、數理演算等方面的能力。

“龜兔賽跑”

最早出自《伊索寓言》中的“烏龜與野兔”故事可謂家喻戶曉、中外皆知，這個故事告誡人們謙虛勤勉將獲成功，驕傲自大必定失敗。

后人將這個故事演繹成了一個邏輯悖論：如果烏龜先爬出一段距離，再讓兔子去追，那么，不管兔子跑得多快，它永遠也追不上烏龜。古希臘哲學家提出過一個著名的悖論——芝諾的烏龜，也被稱為“芝諾悖論”，“龜兔賽跑”里的兔子被替換成了古希臘神話中善于跑步的神明阿基里斯。

在芝諾的問題中，阿基里斯永遠追不上一只正常爬行的烏龜。邏輯推理證明步驟如下：假設阿基里斯跑步的速度是每秒10米，烏龜爬行的速度是每秒1米，阿基里斯讓烏龜先爬100米再出發追趕；當他跑完100米后，烏龜已往前爬了10米；阿基里斯再往前追趕10米后，烏龜又向前爬行了1米……如此循環，因為烏龜總會制造出在阿基里斯前面的無數個新起點，阿基里斯始終無法追上烏龜。然而，實際情況并非如此，我們因此可以發現這個形式邏輯存在的缺陷。

實際上，根據高等數學理論，在“龜兔賽跑”問題中，兔子與烏龜之間的起始間距是有限的，它們之間的距離無限縮小時，按照極限的定義，這個距離最終將等于零，因而兔、龜就會在某一時刻處于同一起跑點上，兔子很快就能追上烏龜。

“兔子數列”

斐波那契數列是由13世紀意大利數學家斐波那契提出，這個數列因以兔子繁殖為例而引入，故又被稱為“兔子數列”。

斐波那契的問題是：通常，兔子出生兩個月后就具備繁殖能力，之后，一對雌雄兔子每個月能生出一對小兔子（假設為一雌一雄）；若所有的兔子都活著，一年可繁殖出多少對兔子？按照上述假設，一年即12個月里，兔子每個月的繁殖數量（單位：對）分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。

據此，斐波那契數列的通項公式可以如下定義：F（1）=1；F（2）=1；F（3）=2；F（4）=3；……F（n）=F（n-1）+F（n-2），（n≥3）。該數列有兩個明顯特點：一是從第三項開始，每一項的數字都等于前兩項的數字之和；二是當數列的個數趨向于無窮大時，后一項與前一項數字比值的小數部分就越來越逼近黃金分割比0.618。因此，斐波那契數列又被稱作黃金分割數列。

該數列在自然界多有體現，比如，樹木新生的枝條往往需要“休息”一段時間才能萌發新枝，一棵樹各個年份生長出來的枝丫數構成了斐波那契數列。在現代物理、結構化學等領域，斐波那契數列也有直接的應用。1963年，美國數學會創辦了《斐波那契數列季刊》數學雜志，專門用于刊載這方面的研究成果。

浪淘沙令

辭舊握新年，思緒翩躚。

舞文玉兔競佳篇。

錦上添花吸眼閱，選料當鮮。

算術悉心研，典故重編。

邏輯數列理推連。

極限方程欣解惑，學海無邊。

古希臘數學家畢達哥拉斯曾說過“萬物皆數”，中國古代周公曾贊嘆曰“大哉言數”，沒想到小小的兔子竟和數學有著如此深厚的“淵源”，我們可要好好學習數學喲！（本文刊載于2023年1月20日《科普時報》《青詩白話》欄目，略有刪減）