橢圓曲線y2=7nx（x2+32）的正整數點

余慧敏，張玲麗，過 靜

（江西科技師范大學大數據科學學院，江西 南昌 330038）

1 前言

橢圓曲線的整數點是數論中很重要的問題。關于橢圓曲線

的整數點問題，目前主要結論集中在m=1，2，3，4上。當m=1 時，橢圓曲線（1.1）變為：

當n 為奇素數時，廖思泉,樂茂華等[1-5]對橢圓曲線（1.2）的整數點進行了研究；當n 只含奇素因子時，李玲、張緒緒[6]對橢圓曲線（1.2）的整數點進行了研究；當n 含2 及1 個奇素數時，杜曉英[7]對橢圓曲線（1.2）的整數點進行了研究；當n 含3 及1 個奇素數時，萬飛、鄧婭容等[8]對橢圓曲線（1.2）的整數點進行了研究。

當m=2 時，橢圓曲線（1.1）變為：

當n 為奇素數時，萬飛、杜先存[9]對橢圓曲線（1.3）的整數點進行了研究；當n 含29 及1 個奇素數時，杜先存等[10]對橢圓曲線（1.3）的整數點進行了研究。

當m=3 時，橢圓曲線（1.1）變為：

當n 為奇素數時，杜先存、林杏等[11]對橢圓曲線（1.4）的整數點進行了研究；當n 只含奇素因子時，趙健紅[12]對橢圓曲線（1.4）的整數點進行了研究。

當m=4 時，橢圓曲線（1.1）變為：

當n 為奇素數時，趙健紅[13]對橢圓曲線（1.5）的整數點進行了研究，當n 只含奇素因子時，趙健紅[14]對橢圓曲線（1.5）的整數點進行了研究。

而對于n 為奇素數時，橢圓曲線

的整數點問題，目前還沒有相關結論。因此，本文主要討論橢圓曲線（1.6）的正整數點情況。

2 重要引理

引理1[15]若D 是一個非平方的正整數，2|D，則丟番圖方程x2-Dy4=1 至多有一組正整數解。

3 定理證明

定理如果n≡5（mod 8）為奇素數，則橢圓曲線

至多有一個正整數點。

證明：令（x，y），x，y∈Z+是橢圓曲線（3.1）的正整數點。因為n 為奇素數，所以由（3.1）式得7n|y，令y＝7nz，z∈Z+。把y=7nz 代入（3.1）式得

由于gcd（x，x2＋32）＝gcd（x，32）＝1 或2 或4 或8或16 或32，因此（3.2）式可以分解成下面4 種情形：

情形Ⅰ x=ka2，x2+32=7nkb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅱ x=kna2，x2+32=7kb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅲ x=7ka2，x2+32=nkb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅳ x=7kna2，x2+32=kb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

其中k=1，2，4，8，16，32。

下面分別討論四種情形下（3.2）式的正整數點的情況。

情形Ⅰ 對x2+32=7nkb2兩邊同時取模7，得

情形Ⅱ x2+32=7kb2兩邊同時取模7，得

由情形Ⅰ的證明知情形Ⅱ不成立，即橢圓曲線（3.1）無正整數點。

情形Ⅲ x2+32=nkb2兩邊同時取模n，得

情形Ⅳ

（i）當k=1 時，x=7nka2，x2+32=kb2為x=7na2，x2+32=b2。解x2+32=b2得，（9，7），（6，2）。又x∈Z+，故x＝2 或x＝7。由x＝7na2，得x＝2不成立，故7na2＝7，則有na2＝1，得n＝a＝1，這與“n≡5（mod 8）為奇素數”矛盾，故x=7 不成立，因此k=1時情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線（3.1）無正整數點。

（ii）當k=2 時，x=7kna2，x2+32=kb2為x=14na2，x2+32=2b2。將x=14na2代入x2+32=2b2，整理得

由（3.6）式知，2|b，則令b=2c，c∈Z+，代入（3.6）式，化簡得

由（3.7）式知2|a，則2|gcd（a，b），這與“gcd（a，b）=1”矛盾，所以（3.7）式不成立，則k=2 時情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線（3.1）無正整數點。

（iii）當k=4 時，x=7kna2，x2+32=kb2為x=28na2，x2+32=4b2。將x=28na2代入x2+32=4b2，整理得156n2a4+8=b2，兩邊同時取模n，得

（iv）當k=8 時，x=7kna2，x2+32=kb2為x=56na2，x2+32=8b2。將x=56na2代入x2+32=8b2，整理得392n2a4+4=b2。由此可知2|b，則令b=2c，c∈Z+，代入得392n2a4+4=b2

（v）當k=16 時，x=7kna2，x2+32=kb2為x=112na2，x2+32=16b2。將x=112na2代入x2+32=16b2，整理得784n2a4+2=b2。兩邊同時取模n，得

（vi）當k=32 時，x=7kna2，x2+32=kb2為x=224na2，x2+32=32b2。將x=224na2代入x2+32=32b2，整理得1568n2a4+1=b2，即

由引理1 知，（3.11）式至多有一個正整數點，故橢圓曲線（3.1）至多有一個正整數點。

綜上在情形Ⅳ下橢圓曲線（3.1）至多有一個正整數點。

綜上所述定理得證。

4 結論

橢圓曲線是一根“神線”，它在眾多的數學、計算機科學和密碼學等領域中有著廣泛而深入的應用。橢圓曲線的整數點是數論中的一個重要問題，目前還有很多橢圓曲線的整數點問題沒有解決。橢圓曲線y2=ax（x2±b），a，b∈Z+的整數點問題是橢圓曲線的一個重要問題，此類問題僅有部分得到解決，關于n為素數時橢圓曲線y2=7nx（x2+a），a∈Z+，的整數點問題至今未相關結論。本文主要利用四次Diophantine方程的已知結果，運用唯一分解定理、奇偶數的性質、同余的性質、Legendre 符號的性質等初等方法，證明了n≡5（mod 8）為奇素數時橢圓曲線y2=7nx（x2+32），至多有1 個正整數點。此結果對于n 是素數時橢圓曲線y2=7nx（x2+a），a∈Z+，的求解有一定的借鑒作用，同時推進了該類橢圓曲線的研究。