一類非線性復微分差分方程超越整函數解的性質

廖志華，付雨欣，蔣業陽

（江西科技師范大學大數據科學學院，江西 南昌 330038）

1 前言

復分析是一個有著眾多分支的研究領域，對復微分差分方程解的研究是復分析中的一個重要的課題[1]。上世紀20 年代，芬蘭數學家R.Nevanlinna從Possion-Jessen 公式出發，通過研究復平面上亞純函數零點、極點的多少和模增長快慢等問題，引進了均值函數、計數函數和特征函數，得到了兩個重要的基本定理，并由此建立了Nevanlinna 值分布理論[2，3]。

近二十年來，隨著Nevanlinna 值分布理論差分模擬的建立，特別是Halburd-Korhonen[4]以及Chiang-Feng[5]等關于對數導數引理差分模擬以及差分計數函數和差分特征函數相關結論的建立，復差分方程亞純解的研究取得了非常多的成果，并進一步拓展到了復微分差分方程亞純解的研究領域[6-14]。

本文中的m（r，f）、N（r，f）、N（r，1/f）、T（r，f）分別表示亞純函數f 的均值函數、極點計數函數、零點計數函數和特征函數[2，3]。σ（f）、λ（f）、λ（1/f）、σ2（f）分別是f 的增長級、零點收斂指數、極點收斂指數和超級[1]。S（r，f）是滿足S（r，f）＝O（log r（T（r，f）））的一個變量，至多除去一個有窮對數測度集。若一個亞純函數g 滿足T（r，g）=S（r，f），則稱g 是f 的小函數[3]。

有窮級指數型多項式函數被定義為：

其中Pj、αj（j=1，2，…，k）是關于z 的多項式。另外，簡單指數型多項式被定義為：

2010 年，Laine 和Yang[13]研究了非線性復域微分差分方程fn+L（z，f）=h（z）的有窮級整函數解，其中n≥2，h（z）是一個不恒等于零的亞純函數。L（z，f）是一個關于f 的線性微分差分多項式，其系數是關于f的小函數。特別地，如果L（z，f）退化成q（z）f（z+1），則非線性復域差分方程f（z）2+q（z）f（z+1）=P（z）將不存在有窮級超越整函數解，其中q（z）和P（z）是一般多項式。2012 年，Wen 等[14]將q（z）換成q（z）eQ（z），即考慮方程fn（z）+q（z）eQ（z）f（z+c）=P（z），其中P（z），q（z）是多項式且q（z）?0，并且Q（z）是一個非常數多項式。他們證明了該方程的超級σ2（f）＜1 的亞純函數解都是整函數，并且得到了定理1.A：

定理1.A[14]若q（z）、P（z）、Q（z）是多項式，且Q（z）不是一個常數，q（z）?0，以及n≥2，那么對于方程fn（z）+q（z）eQ（z）f（z+c）=P（z）的每個有窮級整函數解滿足：

（i）每個解f 滿足σ（f）=deg（Q（z）），并且是正規型；

（ii）每個解f 滿足λ（f）=σ（f）當且僅當P（z）?0；

（iii）每個解f 屬于Γ0當且僅當P（z）≡0；特別地，這是n≥3 的情形；

（iv）如果一個解f∈Γ0，并且g 是該方程的任意一個有窮級的超越整函數解，那么f=ηg，其中ηn-1=1；

（v）如果f 是一個形如（1.1）的指數型多項式解，那么f∈Γ1。進一步，如果f∈Γ1Γ0，那么σ（f）=1。

2016 年，劉凱[9]進一步考慮了下列非線性復微分差分方程

的超越整函數解，得出了與定理1.A 類似的結果。

很自然地，若將方程（1.2）中的單項f（k）（z+c）推廣為多項和時，新方程的超越整函數解f 的性質又將如何？事實上，本文研究了

得到了下面的結論：

定理1 在方程（1.3）中，若q（z）?0，Q（z）、ai（z）、P（z）是多項式，其中Q（z）不是常數，k≥1 以及n≥2，那么方程（1.3）的有窮級超越整函數解f 滿足：

（i）σ（f）=deg（Q（z）），并且它是正規型；

（ii）λ（f）=σ（f）當且僅當P（z）?0。

可以得到下面的結論。

定理2 在方程（1.4）中，若q（z）、P（z）、ai（z）是多項式，Q（z）是一個非常數多項式，q（z）?0，k≥1 以及n≥2，則方程（1.4）的超越整函數解f 滿足：

（ii）如果解f、g∈Γ0，且ai（z）退化成常數ai，那么f=ηg，其中ηn-1=1。

2 主要引理

引理1[3]設f（z）為超越亞純函數，則

引理2[3]設f（z）是非常數亞純函數，aj（1≤j≤q）是q 個互相判別的復數，則

引理3[2]（Hadamard 分解定理）設f（z）為非常數有窮級亞純函數，在z=0 附近滿足

引理4[5]設f（z）是有窮級的非常數亞純函數，c∈C 且δ＜1，則對一切r 有

至多除去一個具有有窮對數測度例外集E2。

再由引理1 可得，

對于任意有窮級的亞純函數f 都成立，其中η是一個非零復數，至多除去一個具有有窮對數測度例外集E2。

引理5[5]設f（z）是非常數有窮級亞純函數，且η≠0 那么對任意r 有

3 定理的證明

3.1 定理1 的證明

（i）假設f 是方程（1.3）的一個有窮級超越整函數解，所以N（r，f）=0。由（1.3）及其變形，結合引理1、引理4 和引理5，可得（3.1）和（3.2）。

因此當n≥2 時，結合（3.1）和（3.2）可得σ（f）=deg Q。

（ii）“?”如果P（z）?0，運用引理2、引理4 和引理5，結合f 是一個超越整函數，可以得到

因此當n≥2 時，λ（f）≥σ（f）。又因為λ（f）≤σ（f），可得λ（f）＝σ（f）。

“?”如果λ（f）≤σ（f），要證P（z）?0。用反證法，先假設P（z）≡0。因為f?0，所以得到

對于n≥2，方程（1.3）意味著

結合（3.5）和（3.6），可以得到N（r，1/f（z））≤S（r，f（z））。因此λ（f）＜σ（f），這與λ（f）=σ（f）矛盾，因此P（z）?0。

3.2 定理2 的證明

（i）與定理1（ii）的證明過程類似地，容易證到：當且僅當P（z）≡0 時，方程（1.4）的每個超越整函數解f 滿足λ（f）＜σ（f）。

如果P（z）≡0，那么λ（f）＜σ（f）。根據引理3，不妨設f（z）=A（z）eα（z），其中α（z）是一個非常數多 項式，A（z）是超越整函數或者是一般多項式。

若A（z）是一個超越整函數，設A（z）=zmH（z），其中H（z）是f（z）的非零零點構成的典型乘積（m 是f在原點處取零點的重數），易得N（r，A（z））=0，根據引理3，可得

將f（z）=A（z）eα（z）代入到方程（1.4）中，可以得到

其中Li（z，A）是一個關于A（z+c）及其導數以及α（z+c）的導數的微分差分多項式，由引理4，可以得到

由方程（3.8），因為A（z）?0，所以

由方程（3.10），可以得到

因此由（3.11）和（3.12）可以得到

所以λ（A）＜σ（A），這與（3.7）中λ（A）＝σ（A）矛盾。因此我們可以斷定A（z）是一個多項式，所以f∈

特別地，如果n≥3 且P（z）?0，根據引理2，引理4 和方程（1.4）得

（ii）根據上述（i）的結果，如果f、g∈Γ0，那么P（z）≡0、A（z）≡1。根據方程（1.4）及ai（z）退化成一個常數ai，則q（z）也退化成一個常數q。由Li（z，A）的表達式以及α（z）是一個多項式的事實，容易得到α′（z）也是一個常數，即α（z）是一次多項式。

兩式相除得，

所以

4 結論

本文運用Nevanlinna 值分布理論及其差分模擬和Hadamard 分解定理研究了一類非線性復微分差分方程（1.3）的超越整函數解的增長級以及零點收斂指數和增長級相等的等價條件。同時，研究表明方程（1.4）的指數多項式解滿足f∈時的等價條件，以及當f∈Γ0時，這樣的解只相差常數倍。