加減法運算意義理解中的情境原型研究

江蘇鹽城市日月路小學(xué) （224000）余水琴

傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)的弊端顯而易見，部分教師在教學(xué)中要求學(xué)生記住題型、記住方法，解答應(yīng)用題時直接套用，這樣教學(xué)不符合學(xué)生的認知規(guī)律，與新課程理念相違背。因此，教師要摒棄傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)模式，把學(xué)生引向有邏輯關(guān)聯(lián)的問題情境和運算意義的探究上，幫助學(xué)生較好地理解情境原型，激活他們記憶中情境原型的經(jīng)驗，為他們的終身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積蓄潛能。

一、加減法情境原型的研究背景

“對正整數(shù)加減法現(xiàn)實意義而言，其情境原型主要有四種：聚合、比較、增加性變化、減少性變化。”這是鄭毓信教授提出的有關(guān)情境原型的觀念，它對于本課題研究有著積極的指導(dǎo)意義。

（一）研究對象

考慮到測試的代表性，主要抽選了全區(qū)一至三年級的部分學(xué)生。

（二）研究方法

首先，利用樣本測試等方式，結(jié)合大數(shù)據(jù)分析等手段，真實地把握本地小學(xué)生情境原型建立的情況，分析其中可能存在的有利因素和不利因素。其次，采取后期跟蹤、回訪等措施，弄清學(xué)生在建立情境原型中的實際困難，排查清楚緣由，為后續(xù)開展課題研究提供信息支持。

1.前期樣本測試與數(shù)據(jù)分析

（1）開展全區(qū)一至三年級學(xué)生的樣本測試，初步了解學(xué)生對加減法情境原型的建立情況。

（2）采取問卷調(diào)查等方式，采集學(xué)生較為喜愛的問題情境信息，為后續(xù)的深入研究提供信息支持。

（3）比較不同版本教材和不同學(xué)段的學(xué)生，了解他們對情境原型建立的差異，為課題研究提供信息保障。

（4）采集學(xué)生在練習(xí)或測試中的錯誤案例，解析其原因，分析情境原型建立的不足之處。

2.后期樣本測評跟蹤和回訪目的

（1）徹底摸清學(xué)生對加減法運算意義在理解上的不足之處，特別是數(shù)學(xué)知識提取中出現(xiàn)的困難或偏差。

（2）初步分析學(xué)生在情境原型提取、應(yīng)用中的思維差異，探尋突破難點的新路徑。

（三）測試和訪談

本次樣本測試的題目有兩類：一是看算式創(chuàng)設(shè)情境；二是一步計算解決問題。

1.看算式創(chuàng)設(shè)情境的測試情況

學(xué)生對這類題都比較喜愛，各年級的水平差距不明顯。考慮到低年級學(xué)生的識字量少、抽象思維水平低、理解數(shù)量關(guān)系能力弱等情況，設(shè)計的測試題中，前兩題只需要學(xué)生畫圖明義就可以了，后兩題則需要學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言表述出來。測試題如下：

（1）用喜歡的圖畫，表示算式3+5。

（2）畫圖表示算式5-3。

（3）結(jié)合自己的平時學(xué)習(xí)，創(chuàng)設(shè)兩個問題情境，需要反映出算式9+3的解答過程。

（4）創(chuàng)設(shè)兩個不一樣的問題情境，用到9-3這一算式。

2.一步計算解決問題的測試情況

這主要考查察對不同的問題情境時，學(xué)生所顯示出來的綜合應(yīng)用知識、經(jīng)驗與數(shù)學(xué)思維研究問題的能力。按照合理配比、有序測試的原則，一二年級均設(shè)計了10道題，即一年級測試的是聚合原型題，二年級測試的是比較原型情境題。其中，面對同一情境原型，既創(chuàng)設(shè)了加法情境，又創(chuàng)設(shè)了減法情境，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈敏性、嚴謹性得到一定的鍛煉。同時，設(shè)計題目時不僅關(guān)注學(xué)生的思維創(chuàng)新，還注重學(xué)生知識基礎(chǔ)的夯實，將傳統(tǒng)的11種基本應(yīng)用題型全部融入其中，使測試更具整體性，更有利于課題研究的深入。如設(shè)計“已知兩數(shù)的和與其中一個數(shù)，計算另一個數(shù)”的常規(guī)題型，目的是了解學(xué)生對加法情境、減法情境原型的建立度有多高，及對應(yīng)的思維模型水平怎樣。

3.測試結(jié)果計分和解釋

測試中的每一道題都包含不同的情境原型。為了更精準地了解學(xué)生對不同情境原型的掌握情況，不采取總分統(tǒng)計的方式，而是采取分題統(tǒng)計的方式，以便進行必要的數(shù)據(jù)甄別，從正確率、失分率中探尋問題的癥結(jié)所在，為后續(xù)進一步研究提供必要的數(shù)據(jù)。如果學(xué)生對某一類情境原型理解的正確率達到85%及以上，則可以認為學(xué)生對該原型的建立是合格的。

4.訪談

訪談是課題研究中最為常用的方法之一，也是最有針對性和實效性的方式之一。為深入了解學(xué)生對比較情境原型的理解和掌握情況，特別是學(xué)生對該類型問題的思考與探究困難，教師有必要展開訪談、調(diào)查等活動。提綱訪談擬訂如下：

（1）仔細閱讀問題，簡要分析題目大意，明晰其中的數(shù)學(xué)信息。

（2）嘗試用數(shù)學(xué)語言來陳述思考過程，或展示研究問題的思路。

（3）要求學(xué)生說出自己選擇運用加減法的緣由。

（4）給予必要的指導(dǎo)或啟發(fā)，如指導(dǎo)畫示意圖、線段圖或聯(lián)系常見的學(xué)習(xí)例子等。

低年級學(xué)生由于邏輯思維和抽象思維還未發(fā)展成熟，所以即使理解一般的加減法運算，也需要借助形象直觀的素材，甚至是借助直觀操作來完成知識同化。但是，可供揭示加減法運算意義的直觀情境非常繁雜，表象也非常多，容易使學(xué)生迷失在情境中，難以歸納出情境的共性，無法提煉出其本質(zhì)特征，更無法將這些情境分門別類。通過訪談?wù){(diào)查、問卷調(diào)查，可以迅速摸清學(xué)生對加減法應(yīng)用模型的掌握情況，進而制訂一系列的應(yīng)對和補救措施，深化學(xué)生對加減法運算意義的理解。特別是后期讓學(xué)生根據(jù)同一道加法算式創(chuàng)設(shè)兩個不同情境、根據(jù)同一道減法算式創(chuàng)設(shè)兩個不同情境的教學(xué)實踐，能夠較好地激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣。同時，這樣能夠給予學(xué)生更大的自由度，讓他們充分發(fā)揮想象，自主決策。經(jīng)過這樣逆向思維的情境創(chuàng)設(shè)后，學(xué)生會對加減法的基本意義和運算原理有一個全面的把握。

二、解析情境原型的研究現(xiàn)實

（一）測試結(jié)果分析

隨著研究的開展，學(xué)生對各種情境原型理解的正確率均已超過85%，他們能夠較好地建立起加減法情境的原型，并能夠運用該模型解決問題。我們課題組在研究中還發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：學(xué)生對比較情境原型的解讀與領(lǐng)悟較為困難，正確率只有78.91%，遠沒有預(yù)期的效果。特別是分析“水果超市有45千克蘋果，比鴨梨少10千克，鴨梨有多少千克？”這種情境原型的問題時尤為嚴峻，學(xué)生解題的正確率僅有63.54%。另外，一年級學(xué)生在解題時，約有24%的學(xué)生會采取類似方程的策略表示出題中的數(shù)量關(guān)系，但是這種思維在二年級的解決問題的練習(xí)中卻很少使用，甚至是銷聲匿跡了。

（二）看算式創(chuàng)設(shè)情境的測試結(jié)果及分析

從分析的統(tǒng)計信息中，能夠看出最受學(xué)生青睞的加法情境原型是聚合與增加性變化兩類，最喜愛的減法情境原型是減少性變化。

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對教材版本的敏感度是較低的，這對測試結(jié)果幾乎是沒有影響的。同時，發(fā)現(xiàn)班級不同，測試結(jié)果的差異較大。這些都能夠較清晰地顯示出教師的教學(xué)方式、教學(xué)行為對學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的影響是巨大的，可謂是至關(guān)重要的。

另外，部分學(xué)生學(xué)會一式多型，即由一道算式創(chuàng)設(shè)出多種不同的情境。

（三）學(xué)生的主要錯誤

學(xué)生的主要錯誤集中在一些逆向思維描述的比較關(guān)系模型上。如“蘋果有8個，比桃子個數(shù)少3個，桃子有多少個？”，有些學(xué)生會列式解答為8-3，顯然這是錯誤的。

（四）訪談記錄

測試后，對不同的學(xué)生進行訪談，從中了解到情境原型掌握不夠靈活或是不甚透徹的原因。梳理分析后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維程式化的現(xiàn)象較為明顯，思考問題的方式較為單一。如見到題目中有“比……多……”就一律用加法，看到題目中有“比……少……”則用減法。從這種現(xiàn)象能夠看出，教師在教學(xué)中對加減法情境原型變化的靈活性欠缺，導(dǎo)致學(xué)生在情境原型中提取信息時出現(xiàn)思維混亂的情況。結(jié)合學(xué)生的測試結(jié)果分析，我們課題組將比較情境原型列為重點來研究。

三、造成比較情境原型障礙的原因與教學(xué)思路

（一）學(xué)生的思維障礙

障礙1：比較關(guān)系理解欠缺

如“烏龜跑了30米，烏龜比兔子少跑10米”，學(xué)生常常斷章取義，錯誤地理解為“烏龜跑了30米，兔子跑了10米”。這說明學(xué)生對“烏龜比兔子少跑10米”的理解尚未達到悟透的層次，對其中邏輯關(guān)系的解讀是模糊的。

障礙2：能理解關(guān)系，但不能列出算式

題目：小明有20顆玻璃珠，小華有25顆玻璃珠，小華比小明多幾顆玻璃珠？

生：（閱讀題目后）這題用加法計算，即20+25=45（顆）。

師：問題是什么？它到底是什么含義？

生：比如說，我有3塊橡皮，小紅有6塊橡皮，6塊橡皮比3塊橡皮多幾塊？

師：怎樣列式？

生：6+3=9（塊）。

師：可以用畫圖來解析這個問題嗎？

（學(xué)生邊畫圖邊描述）

……

障礙3：受思維定式（如見“多”就用加法，見“少”就用減法）影響

題目：折紙比賽中，李晨折了30只紙鶴，李晨比劉強少折10只。劉強折了多少只紙鶴？

師：怎么列式？

生：有“比……少……”，毫無疑問，這題用減法計算，即30-10。

師：用減法來計算，你的想法是什么？

生：因為“李晨比劉強少折10只”，明確說到“少”，少就是減少，用減法計算。

……

（二）學(xué)生的學(xué)習(xí)思路

我們課題組既重視研究的順利推進，又關(guān)注學(xué)生對情境原型的建立，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖等策略去明晰比較的關(guān)系，使學(xué)生有序思考的思維能力得到培養(yǎng)與發(fā)展。結(jié)合具體事例，學(xué)生能夠較好地理解比較關(guān)系中的主體和客體、標準量和相對量，進而把它們與加減法運算順利對接。標準量和相對量之間的互逆關(guān)系，可以對應(yīng)到加減法的互逆轉(zhuǎn)換上，實現(xiàn)加減法思維模型的初步建立。

例如：“肖戰(zhàn)今年接拍商業(yè)代言15個，王俊博比肖戰(zhàn)少接商業(yè)代言5個。王俊博接拍商業(yè)代言幾個？”教師讓學(xué)生拿出小棒，模擬題目中的對應(yīng)關(guān)系擺出小捧，幫助學(xué)生較好地感悟其中的邏輯關(guān)系。

生：15根小棒是肖戰(zhàn)接拍商業(yè)代言的數(shù)量，10根小棒是王俊博接拍商業(yè)代言的數(shù)量。

師：少的5根小棒是什么呢？

生：（指向“空白處”）是王俊博比肖戰(zhàn)少接拍的商業(yè)代言數(shù)，即15-10=5（個）。

……

通過實踐操作及分析數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生明晰了減法的意義。可是，隨著訪談的開展，發(fā)現(xiàn)了不少令人匪夷所思的現(xiàn)象，那就是學(xué)生“心口不一”“想做缺位”。具體表現(xiàn)為：學(xué)生的表層意識與外顯表達嚴重脫節(jié)，外顯表達具有嚴重的經(jīng)驗性和機械性，導(dǎo)致理解與列式南轅北轍，最終出現(xiàn)認知障礙和表達偏差的“綜合征”。

加減法互為逆運算，邏輯上本就有許多的共通之處。隨著情境原型的改變，學(xué)生就會隨意轉(zhuǎn)換視角，把數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系混為一談，導(dǎo)致知識提取、經(jīng)驗應(yīng)用出現(xiàn)錯誤。為此，教師要針對這一情況對學(xué)生進行必要的邏輯訓(xùn)練，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)表達的矯正訓(xùn)練，讓學(xué)生徹底厘清各個數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，找準基準量和比較量，從而列出正確的算式，真正明確算式各部分的含義。

四、比較情境原型的教學(xué)方向

首先，通過研究進一步了解學(xué)生對加減法情境原型的建立情況。隨著年級的遞增，情境原型的學(xué)習(xí)也變得豐富起來，但是學(xué)生對比較情境原型的學(xué)習(xí)還是顯得非常吃力。

其次，通過研究初步了解學(xué)生學(xué)習(xí)加減法情境原型的困難所在：對比較關(guān)系理解、情境理解和運算意義理解斷裂，使得學(xué)習(xí)中難以實現(xiàn)知識、經(jīng)驗和思維的全方位對接。

最后，通過研究了解學(xué)生理解比較關(guān)系的思維方式：先理解比較關(guān)系，再畫圖表示對應(yīng)數(shù)量，將數(shù)量對比關(guān)系抽象成加減法算式，然后選擇方法計算，解決問題。

從多次訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維過程理解才是核心，表象是參照。唯有如此，學(xué)生才能在不同情境中靈活分析原型與解決問題，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要適時為學(xué)生提供多樣化的情境原型，重視學(xué)生積累比較關(guān)系的經(jīng)驗，使學(xué)生真正理解與掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，助力他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。