人教版高中數學新舊教材“函數的單調性”的比較研究

陳麗真 徐建新，2

（1.德化第一中學，福建 泉州 362500；2.福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025）

一、問題背景

鑒于《普通高中數學課程標準（2003 年實驗）》已使用十年之久，教育部于2013 年啟動了普通高中課程修訂工作.歷經四年，《普通高中數學課程標準（2017年版）》后又出臺2020 年修訂版本，重新制定了高中數學課程的教育目標和教學內容，作為編寫教材的綱領性文件和主要依據.課程標準發生變化，教材內容、教學理念也隨之變化.解讀、比較這兩個不同版本的教材，尤其是新教材修改的部分，有助于教師理解編者意圖，進而更好地組織教學.

函數的單調性是函數最重要的性質，在各種函數的研究中都會涉及，它是比較大小、求函數的最值、極值以及證明不等式等的重要工具.單調性的研究過程體現了研究函數性質的一般方法，對研究函數的其他性質，如奇偶性等有借鑒作用.

文章以“函數的單調性”為例，分析研究與2004 年版教材對比，2019 年版教材這節的教學內容是如何落實立德樹人，發展學生的數學學科核心素養這一新的課程目標.

二、研究對象

人民教育出版社2004 年版《普通高中課程標準實驗教科書（A 版）必修1》（以下簡稱舊教材），2019 年版《普通高中教科書數學必修第一冊（A 版）》（以下簡稱新教材）.

三、研究內容

（一）比較概念的引入方式

兩個版本教材對本節的引入方式基本相同，都是先用詳細的引言統攝全節，再把初中階段研究過的函數值隨自變量的增大而增大（或減少）的性質叫做函數的單調性，繼而研究二次函數f(x)=x2的單調性.

在引言中，先指出函數在現實世界中的作用及研究函數的目的；再提出研究的問題是“函數的性質”，在邊空中注釋性質的含義，［1］介紹性質的主要內容，并指出函數性質是認識客觀規律的重要方法；然后明示：先畫出函數的圖象，通過觀察和分析圖象的特征可以發現函數的一些性質，引出本節要研究的內容.本節的引言是關于函數性質的綜述，清楚地說明為什么要研究函數的性質以及如何研究這一問題，有利于學生明晰學習內容，有助于學生閱讀能力的培養.

（二）比較概念呈現順序

舊教材呈現順序：單調性→增（減）函數→（嚴格的）單調性（區間）.［1］

新教材在給出“單調性”概念后，多了“單調遞增（減）”的概念，把“單調遞增（減）”與“增（減）函數”區分開，這是舊教材所沒有的.函數的單調性有兩類：一是定義域上具有一致單調性的函數，二是定義域上單調性不一致的函數.新教材僅把在整個定義域上單調遞增（減）的函數稱為增（減）函數.可見，在新教材中，增（減）函數專指整體性，用單調遞增（減）說明局部性，更能反映函數的單調性是函數的一種“局部性質”.

（三）比較概念的生成過程

舊教材以f(x)=x2為例，先列出x，y的對應值，再讓學生思考：如何利用函數解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應的f(x)隨著減小（增大）”？

舊教材先通過x，y具體的數值變化，再以適當的問題進行引導，試圖把“函數值隨自變量的增大而增大（減小）”轉化為用不等式的語言定量刻畫，但這是一個難點.從以往的教學經驗看，教師引導得辛苦，學生聽得一知半解，效果并不理想.

學生在初中學習了一次函數、二次函數和反比例函數，對圖象的“上升”與“下降”有所了解，也會用“函數值隨自變量的增大而增大（減小）”來描述函數的增減性，只是當時的研究較為粗顯，停留在自然語言階段.因此，本節內容要解決的難點問題是如何在定性的基礎上給出定量刻畫，用數學語言明確給出有關函數單調性的定義.

新教材也是以f(x)=x2為例，由圖象直觀地得到函數值增加、減少的變化特征，進一步直接用數學語言刻畫函數f(x)=x2在區間(-∞,0]上是單調遞減的.同時，教材在邊空中提問：“你能說明為什么f(x1)＞f(x2)嗎？”讓學生從代數的角度證明“當x1＜x2≤0 時，.與初中通過圖象直觀定性描述函數性質比較，高中階段要在圖象直觀的基礎上，通過代數運算研究函數性質.［2］

類似地，定義f(x)=x2在區間[0,+∞) 上單調遞增.

新教材從f(x)=x2入手做數學語言構造的示范，從學生初中熟悉的自然語言描述到高中陌生的符號語言刻畫，從直觀的圖形到抽象的符號，三種語言的轉化自然流暢，又層層遞進，引導學生模仿、體會這種刻畫方式的簡潔性和嚴謹性.

接著教材安排思考題：函數f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎樣的單調性？使學生進一步熟悉符號語言的表述方法.這樣，教材從特殊函數入手，給出一般函數單調遞增（減）、增（減）函數概念嚴格的數學表達.并在“思考”環節，設置問題引導學生辨析定義中的關鍵詞“任意”，最后用新規則證明一次函數、反比例函數等的單調性.由上述過程可以發現，新教材規避了單調性概念用符號語言刻畫的難點，直接采用“規定—例題”的方式來呈現函數的單調性，把學生的可接受性和發展性放在首位.

（四）例題及思考題的設置對比

新教材刪除了舊教材的例1，改成根據定義研究一次函數的單調性；例2 與舊教材相同，即證明函數p=(V∈(0,+∞)) 是減函數；例3 是證明函數y=x+在區間(1,+∞)上單調遞增.

新教材在概念生成的過程中以二次函數為例，因此，例1 和例2 研究初中學過的另兩類函數：一次函數和反比例函數.先借助函數圖象直觀地感知這兩類函數的單調性，再運用定義進行嚴格的證明，從形到數，從直觀到抽象，培養學生數形結合及分類討論思想，使初中所學內容得到深化和提高.

例3 給的函數是正比例函數y=x與反比例函數y=相加構成的新函數，該函數的圖象是學生不知道的.通過例3 的證明，學生既得到函數y=x+在區間(1,+∞)上單調遞增，又得到其在區間(0,1)上單調遞減，從而順利地畫出函數y=x+在區間(0,+∞)上的圖象，化抽象為具體.

前兩道例題由圖象觀察函數的單調性并證明，后一題反其道而行，先研究函數的性質，再得到函數的圖象.三道例題相輔相成，提供了研究函數的圖象與性質的兩種常見方法.同時，三道例題都緊扣函數單調性的定義，用數學的符號語言嚴格按照“取值、作差、判斷符號、下結論”這四個步驟依序操作，使學生進一步理解、鞏固單調性的概念，對學生能運用概念規范地用符號語言表達起到很好的示范作用.

新教材例題的設置比舊教材更豐富、更有層次性和深度，更能引導學生用數學的思想、方法解決問題，并在問題解決的過程中培育學科素養.

除例題外，新教材通過設置兩道思考題對概念進行辨析，通過明晰概念，促進學生重視對概念的學習.區間I上部分滿足單調遞增的條件，不能得出函數在區間I上單調遞增，讓學生理解概念中為什么要“?x1,x2∈D”.另一題是讓學生舉例說明定義域內單調遞增的函數（如一次函數）和既有單調遞增區間又有單調遞減區間的函數（如二次函數），讓學生辨別了增（減）函數和單調遞增（減）這兩個概念的區別.

基于新舊教材中都有的例2 玻意耳定律就是證明函數y=(k＞0)在(0,+∞)上單調遞減.所以，新教材刪掉舊教材關于函數y=在定義域上單調性的探究題，將其安排在課后練習中，并將函數y=改成反比例函數y=-提高了難度.學生要通過討論k的正負得到不同的單調性，與例1呼應，分類討論思想進一步得到鞏固.該題可以通過舉反例，說明函數y=(k＞0)在定義域上不是減函數，更具體地讓學生明白概念中“?x1,x2∈D”這一條件的重要性，從而理解函數的單調區間為什么不能簡單合并.教材在多個位置設置不同的題目，不斷地強化學生對函數單調性這一抽象概念的理解，感悟常用邏輯用語中的量詞與數學的嚴謹性.

（五）比較課后習題的安排

新教材課后習題的數量明顯增多，其中最大一個亮點是習題3.2 的第8 題和第9 題.

習題3.2 第8 題設置了三道小題，分別要求用定義證明函數y=x+在區間[3,+∞)上單調遞增，討論函數y=x+及y=x+(k＞0)在區間(0,+∞)上的單調性.

該題與例3 是同一類型的函數，由易到難地引導學生完成對函數y=x+(k＞0)在區間(0,+∞)上的單調性的探究，后續在學完函數的奇偶性后又得到該函數在區間(-∞,0)上的單調性，在學完本章后又專門“探究函數y=x+的圖象與性質”.教材根據學生的認知水平，通過例題、習題、閱讀材料逐步達成學生對形如y=ax+(a,b＞0)的函數圖象與性質的理解，對運用基本不等式求這類函數的最值起到補充、加強的作用.

習題3.2 第9 題的證明題實際上是給出增（減）函數定義的等價形式：設函數y=f(x)的定義域為D，區間I?D，記Vx=x1-x2，Vy=f(x1)-f(x2).

函數y=f(x)在區間I上單調遞增（減）的充要條件是：?x1,x2∈I，x1≠x2，都有＞(＜)0.

新教材將“差商法”放在本節習題中作為“定義法”判別法則的補充，更簡潔但也更抽象.由“差商法”可知，函數在區間I上單調遞增（減）的充要條件是該區間上圖象任意兩點連線的斜率大于（小于）零，它為今后研究平均變化率與導數提供了基礎，也為用導數研究函數的單調性作鋪墊.

新教材在例題與習題上做了較大的改動，充分體現了新課標“重視以學科大概念為核心，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實”的編寫理念.［3］

四、結束語

新舊兩種版本的教材對函數的單調性處理方式同中有異，各有千秋，體現了各自的課程目標和內容.2003 年版課標要求通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性；2017 年版的課標修改為：借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性.可見，新課標要求結合函數圖象，經歷從具體的直觀描述到形式的符號表達的抽象過程.因此，新教材的編寫更注重發展學生的數學抽象素養.函數的圖象直觀地表達了函數的性質，兩種版本的教材都注重加強與學生已有經驗的聯系，先通過學生熟悉的函數圖象直觀感知，再引入概念，關注學生直觀想象素養的培育過程.新教材例題與習題的設計以能力立意為主，體現了數學思想方法的運用以及知識的螺旋式上升，發展學生的邏輯推理和數學運算素養.教學中要充分發揮教材的作用，理解教材，把握教材內涵，落實“四基”“四能”，發展學生數學學科核心素養.