初中數學中輔助線有效應用的研究

李 麗

(武夷山市第三中學,福建 武夷山 354300)

輔助線應用是幾何教學的重點與線索,可以培養學生的抽象思維、邏輯推理能力和空間想象能力,從而對學生學習產生積極的學習意義.伴隨新課改的逐漸推進,初中數學教學的側重點不是在普通的知識傳遞上,而是在學生能力培養的層面上.因此,促進初中數學中輔助線應用的教學,可以加強對學生的思維訓練和能力培養[1].

1 輔助線的具體內容

1.1 輔助線的含義

輔助線的基礎含義是指學生在解答數學幾何問題時,基于原圖所作的具有解題價值的直線或線段.在作輔助線時,學生需要遵守以下原則:首先,需要秉承“集合”的原則,即將題目和圖形中分散的幾何元素轉化為集中的幾何元素,比如說在關于三角形的問題中可以將分散的幾何元素集中于一個三角形或兩個全等的三角形之中,以便于應用其他定理完成證明[2];其次,需要堅持“化繁為簡”的原則,即面對不規則的圖形時需要第一時間想到通過輔助線將其轉化為規則的圖形,面對復雜的圖形時需要第一時間通過輔助線將其轉化為清晰可見的簡單圖形;最后,應當注重虛實線的結合,即在平面幾何問題中用虛線表示輔助線.在立體幾何中用虛線表示看不見的輔助線,用實線表示看得見的輔助線.

1.2 輔助線的數學作用

1.2.1 挖掘隱含的性質或條件

輔助線在數學題型中的具體作用之一是為學生挖掘隱含的幾何性質或條件等.即在題目條件與結論之間關系不明晰時,學生可以透過合適的輔助線發現隱藏的圖形性質或其他已知條件,從而獲得過渡性的推論,最終得出正確結論.

1.2.2 集中分散的幾何因素

輔助線在數學題型中的具體作用之二是為學生集合分散的幾何因素.即通過輔助線的應用將圖形中分散、遠離的幾何因素轉化為集中呈現的幾何因素,為題設條件和結論之間構建合理的邏輯關系,從而得出正確結論.

1.2.3 化復雜為簡單

輔助線在數學題型中的具體作用之三是為學生化繁為簡.即通過輔助線的設計將復雜的圖形通過拆解分為若干個簡單的圖形呈現出來,從而化復雜為簡單、化難為易.

1.2.4 發掘特殊點、線

輔助線在數學題型中的具體作用之四是為學生發掘特殊的點和線的數學價值.即通過輔助線的設計將特殊的點、線或圖形性質等呈現至學生面前,驅使學生基于這些特殊點、線的作用推導條件與結論的深層邏輯,最終完成結論推導.

1.2.5 構造新圖形

輔助線在數學題型中的具體作用之五是為學生在原圖的基礎上構造新圖形.由于部分特殊題型的存在,學生需要應用輔助線在原圖基礎上構造新圖形,并借助該圖形完成條件與結論的聯系,從而完成結論導出.

1.3 輔助線應用的教學意義

1.3.1 促進新課改的深入推進

新課改已明確提出,教師在進行數學教學時,需要注重增強學生的幾何直觀意識和提高學生的幾何推理能力.而輔助線應用在實際學習中將有助于培養學生的抽象思維、邏輯推理思維和空間想象能力.因此,輔助線應用的優化教學將有利于促進新課改這部分內容的深入推進,落實以學生的發展為本的教育原則.

1.3.2 提高學生解決問題的能力

綜合輔助線具體的數學作用,輔助線應用可以幫助學生提高解決實際問題的能力.具體來說,輔助線應用可以挖掘圖形中的潛在信息,以此可以培養學生的思考能力、推理能力和空間想象能力;輔助線應用還可以通過信息整合幫助學生提高信息整合能力、數據分析能力和空間想象能力;輔助線應用還可以通過化繁為簡、化難為易等降低學習難度,幫助學生建立數學學習的自信心;輔助線的應用還可以幫助學生提高知識應用能力,促進數學學習的思維拓展與能力訓練.

2 初中數學中輔助線應用中存在的問題

2.1 缺乏系統性學習

從當前初中數學的教學現狀來看,教師關于輔助線應用的教學雖有開展,但缺乏系統性.在實際的初中數學教學中,輔助線應用的教學常常伴隨著平面幾何或空間幾何的題目教學而展開,導致學生在實際的學習中缺乏對輔助線應用的系統性學習,從而不利于學生完成相應的知識遷移,繼而不能靈活運用輔助線展開另一類題型的分析與解答.

2.2 缺乏深入的概念學習

從當前初中數學的教學現狀來看,教師關于輔助線應用的教學雖有開展,但由于缺乏專題性教學,輔助線應用的教學往往不能引起學生深入的概念學習.而缺乏深入的概念學習,會導致學生對于輔助線的認識與理解僅僅停留在基礎淺薄的層面,從而影響了學生對輔助線的實際應用,不利于促進學生的深度學習,也不利于培養學生的知識應用能力.

3 促進初中數學中輔助線應用的有效路徑

3.1 設計專題教學

初中數學教師可以以“輔助線應用”為專題設計并開展相應的教學專題,通過系統性的專題學習深化學生對于輔助線的概念認識與應用.例如,教師可以通過網絡查詢、題型分析和教師之間的交流等完善一套“輔助線應用”的教學方案,并以此方案落實具體教學[3].

教師可以根據三角形、平行四邊形、梯形和圓的分類方式設計對應的教學策略.

首先,關于三角形的題型,大致包含三種作輔助線的思路.

“中線思路”,如果實際題型中涉及三角形中線,常常將中線加倍;而無中線時通常會出現中點的概念,學生應該就著中線思路繪制三角形的中位線作為輔助線完成后續條件的證明與推理,從而化繁為簡、化難為易,解決問題.

“平分線思路”,如果實際題型中涉及角平分線,學生常常遵循平分線思路,以角平分線為對稱軸并利用角平分線自身的特點與性質聯系題中已知條件構造出全等三角形,從而利用全等三角形的性質與相關知識完成問題解答.

“等線段思路”,如果實際遇到的題型中提到“兩線段相等”的結論,學生應當作輔助線以構成全等三角形或角平分線段等并利用對應的定理以豐富自身思路,完成后續解答.

其次,關于平行四邊形的問題,大致包括五種作輔助線的思路.在開展該小專題的部分教學時,教師應當在教學開始之初為學生闡明矩形、正方形、菱形與平行四邊形的關系,在此基礎上共同講解并分析這些圖形關于兩組對邊、對角和對角線的相同性質,提供大致的作輔助線的統一思路[4].在完成大致思路的概述后,教師就可以以此展開具體的思路分析.

第一,“對角線”原則.學生在遇到平行四邊形問題時可以先考慮“對角線”原則,通過連成對角線或平移對角線將平行四邊形分成兩個三角形,從而完成化繁為簡的作輔助線工作,完成最終的問題解答.

第二,“直角”原則.學生可以按照方法順序考慮直角原則,過某一頂點作對邊垂線為輔助線,以此構建平行四邊形中的直角三角形.

第三,構建線段關系.比如說連接對角線的交點與一邊中點或過對角線交點作與一邊形成平行關系的平行線,從而構成線段平行或中位線關系,促進問題解答.

第四,構造三角形相似或等積關系.如連接頂點與對邊上一點的線段或延長為輔助線,從而促進相似三角形或等積三角形的構成,最終完成解答.

第五,過頂點作對角線的垂線為輔助線,以此構造平行四邊形中的線段平行關系或全等三角形的關系.

關于梯形這一特殊四邊形的題型思路分析,基于梯形的特點和性質,教師可以通過綜合平行四邊形和三角形題型的思路概括引導學生將梯形問題轉化為上述的平行四邊形問題或三角形問題,從而促進問題的實際解決.具體而言,學生可以在梯形內部、梯形外部通過平移一條腰、兩條腰或延長兩腰轉化為簡單的三角形或平行四邊形的問題;此外還可以通過以梯形上底的兩端點向下底作高為輔助線、平移對角線而形成輔助線等構成等線段或其他關系;還可以通過連接梯形的一個頂點以及一條腰的中點或過一條腰中點作另一條腰的平行線、中位線等.

最后一個小專題是關于圓形的題型.由于圓形自身的特殊性以及其與其他圖形的分離性,圓形問題的處理往往需要借助輔助線的應用以構建其與其他圖形之間的關系,從而促進問題的推進與證明.關于圓形題型的解答,教師亦可以分為以下五個思路供學生思考:通過弦作弦心距為輔助線并利用垂徑平分定理構成題目已知條件與求證結論之間的聯系;通過直徑作輔助線為圓周角并利用“直徑所對的圓周角是直角”的性質完成問題證明;通過連結切點的半徑為輔助線并利用“切線與半徑垂直”的性質推進結論證明;作兩圓形的公切線或連心線,聯系與圓相關的角的關系,從而厘清題目已知條件與結論之間的邏輯關系;構建兩個相交圓的公共弦,通過公共弦聯系兩個圓形或兩圓之中的圓周角或圓心角的關系.

在“輔助線應用”總結性專題教學的最后,教師應當強調學生在運用上述原則或思路時要注重靈活性原則.

3.2 引入多媒體教學

為促進初中數學輔助線的應用,初中數學教師可以在系統性的輔助線應用專題教學中借助信息技術的特點與優勢,以此豐富課堂教學的趣味性,提高輔助線應用專題教學的直觀性和形象性,從而提高該專題教學的效率和質量.

教師可以通過計算機技術的便利在課上幫助學生實現不同作輔助線的方法,促使學生在不斷試錯中積累學習經驗,從而加深學習印象.

此外,教師還可以應用計算機技術的精確性和靈活性為學生設計專門的電子筆記,為學生反復思考與驗證提供便利,從而提高學生的學習效率和質量.

綜上,為促進初中數學輔助線的應用,初中數學教師可以通過設計關于輔助線應用的專題教學以提高輔助線應用的學習系統性,通過引入多媒體,借助信息技術優勢提高輔助線應用課堂教學的趣味性、直觀性和形象性,從而借助輔助線應用這一數學方法促進學生的思維培養與能力發展.