從結構化理解，探究數學概念教學
——以“正切”為例

江蘇省宜興外國語學校

裴 姣

“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.”[1]布魯納的這句話告訴我們，知識要互相聯系，架構成知識體系，才能更好地被我們理解和運用.在數學概念教學中，不僅要讓學生經歷完整的概念生成過程，也要重視知識之間的相互聯系，挖掘知識點之間的相通之處，把知識串起來思考與認知.由點到面理解概念，更有助于學生抽象出數學概念，認識概念的本質，進而培養數學抽象思維，提升數學核心素養.下面，筆者以蘇科版九年級下冊第七章第1節“正切”(第1課時)的教學為例，談談基于結構化理解數學概念教學的實踐與思考.

1 教學準備

1.1 教材分析

“正切”是在學生已有相似三角形相關知識的基礎上，從感受臺階的傾斜程度這一實際生活問題中，提煉出角度與三角函數值之間一一對應的數學模型，建立了直角三角形中銳角和邊的關系，是對勾股定理邊和邊關系的補充.本章內容分為銳角三角函數的概念、用銳角三角函數知識解直角三角形及其應用兩個部分.正確理解“正切”的概念，既是學習“正弦、余弦”概念的基礎，也是理解、利用直角三角形中邊、角之間的關系解直角三角形，進而最終解決生活中測量、工程、物理等問題的關鍵.

1.2 教學目標

(1)從生活問題中探究正切的概念，認識直角三角形中銳角的正切.

(2)會求特殊角度的正切值.

(3)初步感悟模型思想、數形結合思想，培養抽象思維能力.

1.3 教學重點、難點

重點：掌握銳角的正切概念，會求銳角的正切值.

難點：理解角度與正切函數值之間的一一對應關系.

1.4 學情分析

學生已經學習了相似三角形的知識，具備運用相似的性質來解釋只要銳角確定，這個銳角在不同直角三角形中對邊與鄰邊的比值也是確定的.學生已經具備了借助圖形找出直角三角形中邊、角之間關系的能力.

2 教學過程

2.1 情境化感知概念

情境引入：圖1中哪個臺階更陡？

圖1

通過觀察，學生能發現右圖更陡，因為它的傾斜角度更大.

設計意圖：從熟悉的生活情境入手，根據生活經驗，學生能感知到，傾斜角度越大斜坡越陡.教師引導，除了角度外還能根據直角邊來考慮傾斜程度，把實際問題數學化，抽象出直角三角形模型，從而把焦點轉移到直角三角形中兩條直角邊的關系上.

2.2 探究中觸及概念

探究一：圖2-1，2-2，2-3中哪個臺階更陡？你是如何判斷的？

圖2-1 圖2-2 圖2-3

學生比較圖2-1,2-2，發現水平距離都是8時，垂直高度大的臺階陡些；比較圖2-2，2-3，當垂直高度都是6時，水平距離短的臺階陡些；從而可以得出圖2-2中的臺階最陡.教師追問,圖2-1，2-3中沒有一條直角邊相同該怎么比較呢？學生聯想到可以構造有一邊相同的相似三角形，且不改變臺階的傾斜角度.如圖3，在圖2-3中作出水平長度為8的相似三角形，運用相似比算出水平高度是4.8，得出圖2-3中的臺階比第圖2-1中的臺階略陡些.同樣，把圖2-1中的水平距離放大為10，運用相似比計算出水平高度是5，也能得到相同的結果.

圖3

圖4

追問：已知兩條直角邊，你有比較的方法嗎？

通過上面的思考，學生知道需在一條直角邊相等的情況下，再比較另一條直角邊，相似是轉化的知識支撐.引導學生把圖2-1，2-2，2-3都轉化為水平長度為1的直角三角形，運用相似比算出各自的垂直高度.當水平長度都是1時，圖2-1，2-2，2-3中三個臺階的垂直高度分別為0.5,0.75,0.6，如圖4.在同一幅圖中，哪個臺階更陡，結果更為直觀.進一步發現，計算出的垂直高度就是直角三角形兩直角邊的比值，通過比值的大小就能比較“陡”的程度高低.

設計意圖：提供三個邊長不同的直角三角形，意在讓學生感受直角邊長度能影響臺階“陡”的程度，在逐步探究中明晰思路，除了傾斜角外，兩條直角邊的比值也能確定臺階“陡”的程度.

探究二：比較圖5的兩個臺階，你有什么發現？

根據圖中標識的數據，學生能判定兩個三角形相似，推導出兩個臺階的傾斜角相等.

圖5

設計意圖：探究二提供的相似三角形是兩個直角三角形關系的特殊化，在從一般到特殊的過程中，學生鎖定的思考路徑是利用直角三角形兩條直角邊的比值來確定臺階陡的程度，為下文給出正切的概念做好了充分的鋪墊，讓學生在豐富的素材中增強感受和體驗.通過探究讓學生經歷概念形成的全過程，增強學生的體驗，符合學生的認知規律和抽象思維特點.

2.3 提煉中表征概念

探究三：如果銳角A的大小確定，我們可以做出無數個以銳角A為內角的直角三角形.

圖6

(2)改變∠A的大小，(1)中的等式成立嗎？

(3)(1)中等式的比值隨著∠A的變化而變化嗎？

根據相似三角形對應邊成比例，(1)中的等式成立；當∠A變化時，(2)中等式仍然成立；(3)中等式的比值隨著∠A的變化而變化.歸納：如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定.

圖7

設計意圖：學生在原有知識基礎上，經過觀察與分析，操作與思考，感悟出相似直角三角形的邊與邊的比值隨著銳角的變化而改變，當銳角的大小確定時，比值也確定.初步建立起函數的一一對應關系，滲透模型思想，這樣利用直角三角形來定義“正切”就水到渠成.

2.4 運用中深化概念

例1如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，求tanA.

分析：首先運用勾股定理求出直角邊BC，再根據正切概念求銳角A的正切值.

圖8

圖9

例2如圖9,已知等邊三角形ABC，求tanA.

分析：添加輔助線構造直角三角形，運用等邊三角形“三線合一”、勾股定理求出銳角A的對邊與鄰邊之比.

設計意圖：正切概念起源于直角三角形，運用正切函數解決問題就要放到直角三角形這一幾何背景中.從例1到例2體現了從現成的直角三角形發展為構造直角三角形，讓學生明確運用概念的條件.在例題求解中，學生認識到正切值是一個比值，沒有單位，tanA是一個整體，不能拆開，通過初步運用概念，深化對概念的理解.

2.5 結構化理解概念

正切函數是銳角三角函數的一種，理解正切概念需有相似三角形的知識儲備，正切函數在測量等實際問題中運用廣泛.正切概念生成過程如圖10所示.

圖10

3 教學思考

3.1 豐富學生體驗，促進概念生成

數學概念課，若把只介紹概念、講清楚例題、讓學生會用作為課堂達成度的標準，那么，這樣的概念教學課只完成了知識點的教學，學生只能學到知識點和解題方法，但思維和能力并沒有得到提升.數學概念教學要引導學生從身邊熟悉的素材入手，用數學的眼光去觀察、思考問題，用數學語言表征概念和自我建構，這樣概念的產生才會順理成章，學生也能欣然接受.

3.2 滲透數學思想，深化概念認知

本課中，正切概念生成后，還需要表達和運用概念，達成對概念的深層認知.在運用正切表達和解決實際問題的過程中，教師要引導學生不斷感悟模型思想，銳角的正切值隨著銳角的變化而變化，相等的銳角正切值相等，跟所在直角三角形的大小無關，從模型思想中進一步體會正切概念的本質.本課中，也處處蘊含數形結合思想，分析題意，畫出圖形，結合圖形從直觀處體會邊和角之間的關系，理解概念的實質，體現數與形巧妙結合，更有助于概念的形成與運用.

3.3 結構化理解概念，培養學生抽象素養

數學具有整體性，數學知識前后貫通，上下關聯.概念教學要充分挖掘知識的生長點和延伸點，尋求新舊知識的關聯，實現新舊知識的轉化，構建成知識體系.讓學生對概念的理解從表象化發展為本質化，從形式化發展為結構化，在建構知識體系的同時，培養理性思考的習慣與創新意識，發展數學抽象素養.