一道向量題的探究

王惠清

?江蘇省南通市通州區教師發展中心

平面向量問題一直是每年模擬、高考、競賽等考試中的熱點與重點問題之一，其借助平面幾何的背景，創新性、新穎性皆很強，且變化多端，常考常新，同時也是數學知識交匯與融合的理想場所之一，是考試中能力齊全、思維各異、方法多樣的一個主戰場.破解平面向量問題，主要是抓住平面向量與平面幾何的圖形特征，借助基底思維、坐標思維、解三角形思維等方式切入，結合平面向量的相關運算，得以研究相關的幾何元素之間的關系問題.

1 問題呈現

問題(2020屆湖北省武漢市武昌區高三年級4月調研測試數學理科試卷·10)如圖1所示，在由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形中，設DF=3FA，則( ).

圖1

此題設計新穎別致，題意簡潔明了，目標明確，立意深刻，通過平面幾何圖形的拼接與組合，以兩個具有特殊關系的等邊三角形為問題背景，結合其中線段之間的比例關系來確定平面向量的線性關系式.問題以平面幾何圖形為背景，使得命題條件獨具特色，并增加了思維難度，充分體現了新課標高考的“多考思維，少考計算”的命題新理念，意在考查學生的觀察、歸納、猜想和邏輯推理以及數學運算能力.

2 問題破解

思維視角一：基底思維

方法1：基底法——線性運算法.

解析：根據題目條件可知△ABD≌△BCE≌△CAF.

由DF=3FA，可得ED=3DB，FE=3EC.

點評：根據平面圖形的形象直觀性，數形結合，利用三角形法則，結合平面向量的線性運算加以轉化，“一條路到底”，再結合基底法的應用來確定平面向量的線性關系式，從而正確求解.

方法2：基底法——待定系數法.

思維視角二：坐標思維

方法3：坐標法.

解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖2所示.

圖2

E(16x-6，16y).

點評：根據條件建立平面直角坐標系，設出點B的坐標，從而確定點C的坐標.設F(x，y)，利用條件中線段長度的關系分別表示出點D，E的坐標.結合CF=4CE建立相關參數的方程組，進而確定點D的坐標.利用平面向量的基本原理及其坐標運算建立關系式，結合待定系數法來求解相應的參數值，從而正確求解.

思維視角三：解三角形思維

方法4：余弦定理法.

圖3

解析：如圖3所示，延長AD交BC于點M，延長BE交CA于點N.

結合DF=3FA，根據對稱性，可設AF=BD=CE=1，DF=ED=FE=3，BM=CN=x，DM=EN=y.

在△BCE中，由余弦定理，得

點評：根據條件構造相應的輔助線，通過設出相應的線段長度，并結合余弦定理的應用確定BC的長度.通過相似三角形的判定與性質建立相應的關系式，得以確定相應的參數值，再結合平面向量的平行關系、共線性質以及線性運算進行分解，從而正確求解.

方法5：正弦定理法.

解析：如圖4所示，延長AD交BC于點M.

圖4

結合DF=3FA，根據對稱性，可設AF=BD=CE=1，DF=ED=FE=3.記∠DAB=α，∠DBA=β.

點評：根據條件構造相應的輔助線，通過設出相應的線段長度，并結合正弦定理的應用確定線段之間的關系，再結合三角形面積之間的關系加以轉化與應用，進而確定線段之間的比例關系，最后結合平面向量的平行關系、共線性質以及線性運算進行分解，從而正確求解.

3 變式拓展

探究1：保留題目條件，根據大、小等邊三角形之間的比例關系，通過面積關系來設置幾何概型問題，利用概率的求解來進行合理變式.

變式1如圖1所示，在由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形中，設DF=3FA，若在大等邊三角形中隨機取一點，則該點取自小等邊三角形內的概率是.

探究2：保留原問題的部分條件，把具體的線段比例關系進行一般化處理，將原問題變式拓展，從而得到相應的一般性結論.

該結論的具體證明過程可參照原問題中方法4的求解過程.利用該結論，可以確定小等邊三角形與大等邊三角形邊長的關系、面積的關系以及與之相關的其他問題，包括變式1中的幾何概型問題等.

4 解后反思

破解平面向量問題最常見的“三思維”：基底思維、坐標思維、解三角形思維.在實際解答過程中，利用平面向量的線性運算或坐標運算來分析與處理，具體破解與切入方式又有不同的形式.其實，在解決平面向量問題時，要充分利用平面向量的特征，提高識“圖”與用“圖”能力，提升用“數”與解“數”思維，進而從“形”的角度或“數”的角度切入，結合不同的思維方式來分析，達到多角度思維，多方法處理，多層面拓展.