一道解三角形題的探究*

徐志剛

?福建省福安市第一中學

解三角形問題是高考數學、高中數學聯賽中比較常見的一類綜合性應用問題，能很好交匯與融合平面幾何與平面解析幾何、函數與方程、三角函數、不等式以及解三角形等相應的數學基本知識，情境創設多變，思維視角多向，技巧策略多樣，思想方法豐富，具有相對規律性的思維方式與破解技巧，可以從代數視角或幾何視角等來切入與分析，倍受各方關注.

1 問題呈現

圖1

2 問題剖析

此題以“布洛卡點”為問題背景，借助平面幾何中的“布洛卡點”加以拓展與情境創新，在正三角形中通過確定點的位置，進而研究相關線段長度的比值問題.

此題合理把平面幾何與解三角形問題加以融合與交匯，借助平面幾何的直觀想象來創設，很好考查數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等，以及邏輯推理、數學運算等核心素養.此類問題可以給考生提供更多的展示機會與空間，充分展現各自的能力水平，具有較好的選拔性與區分度.

3 通技通法

掌握破解相應的解三角形問題的通技通法，借助對應的三角形來構建邊與角之間的關系，同時借助正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等相關知識，有時還需要根據題目條件引入邊或角的參數值，為進一步構建關系提供條件.

方法1：解三角形轉化法.

解析：設正三角形ABC的邊長為2，|CD|=2λ，∠CDP=θ.

解后反思：解三角形問題的關鍵就是構建邊與角之間的關系，合理引入邊與角的參數，在不同三角形內借助正弦定理或余弦定理構建含參關系式.代數關系式的合理恒等變形與轉化，以及三角恒等變換的應用，是破解此類問題的基本思維方式.這里以其中的一個同角所對應的不同三角形來構建對應的正弦關系是破解問題的切入點，也是解決此類問題的通技通法.

4 巧技妙法

在實際教學、學習與解題應用過程中，既要掌握破解數學問題的“通技通法”——構建參數思維，結合對應的三角形來分析與求解.同時還要結合問題或事物自身的特殊性或本質屬性，開拓思維，尋求破解問題更為簡捷的方法，優化思維，從解三角形思維或平面幾何思維等視角，合理借助巧技妙法來處理該問題，揭開對應問題的“面紗”，探尋數學的奧妙所在.

思維視角一：解三角形思維

方法2：面積轉化法.

在Rt△BPC中，|PB|=|BC|cosθ，|PC|=|BC|sinθ.

方法3：正弦定理轉化法.

在△ABD中，結合正弦定理有

解后反思：解三角形問題中構建三角形的邊與角的參數，經常還可以在特殊三角形(例如直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等)中加以合理構建，這樣更加方便構建相應的邊與角之間的關系，為目標的破解提供更為有效的手段.方法3就是通過直角三角形中相應銳角引入參數，結合解直角三角形來化歸與轉化，從三角形的面積公式或正弦定理的應用等思維角度來進一步處理，更加巧妙快捷.

思維視角二：平面幾何思維

方法4：平面幾何旋轉法.

圖2

解析：如圖2所示，以點B為中心，將△CPB旋轉至△AP1B，連接PP1.

在Rt△PAP1中，

解后反思：涉及解三角形的問題，經常可以回歸平面幾何本質，通過平面幾何圖形的合理旋轉、輔助線的構建等，結合平面幾何的邏輯推理與直觀想象，探究線段長度、相關角度等的關系以及三角形的幾何性質，從平面幾何視角來分析與處理，從而達到解三角形問題的目的.利用平面幾何思維解決一些解三角形的問題時，要充分利用圖形的直觀性與幾何性質來分析與破解.

5 變式拓展

挖掘問題實質，探究解析過程，從問題本質上進行“一題多變”“一題多拓”等研究，鞏固知識，發散思維，提升能力，真正掌握解決問題的技巧方法.

探究1：保留原題目條件，結合問題的解析過程，從另一個角度來確定其他邊長的比值問題，從而得到以下對應的變式問題.相較于原題，考查知識點基本相當，試題難度有所降低.

圖3

探究2：根據平面幾何圖形的對稱性，變換原來問題中三角形的頂點B與C的位置(兩者進行調換)，其實就是改變其中一個角的度數，吻合平面幾何的對稱性，可得以下對應的變式問題.

6 教學啟示

破解相關的解三角形問題，關鍵是合理借助解三角形中的平面幾何性質或正弦定理、余弦定理等來化歸與轉化對應的三角形邊與角的關系.破解時常見思維視角主要有以下兩種：

(1)代數角度進行代數運算

利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式等，合理“化邊為角”或“化角為邊”，尋找關于三角形中的角或者邊等元素之間的關系進行合理化簡與轉化；或利用平面直角坐標系的構建，借助點、直線、角等的坐標形式來尋找三角形的角或者邊等相關元素之間的關系，合理代數運算，巧妙化歸與轉化.從代數角度，綜合解三角形、三角函數、不等式、平面解析幾何等相關知識來分析與處理.

(2)幾何角度進行數形結合

利用平面幾何的直觀模型，以及題目條件中涉及的點、線、角的位置關系，數形結合，直觀想象；通過平面幾何圖形的旋轉、折疊、對稱、變形以及輔助線等的構建，合理尋找平面幾何圖形中蘊藏的點、邊或者角等元素之間的幾何關系與數據信息；利用直角三角形(或其他特殊的三角形等)以及平面解析幾何知識等加以邏輯推理、數形結合以及數學運算等綜合分析與求解.