追本溯源：2022年全國新高考Ⅱ卷第12題的解法研究

黃國強 秦 君

?四川外語學院重慶第二外國語學校

1 試題再現

若x，y為實數，滿足x2+y2-xy=1，則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2

2 試題分析

全國新高考Ⅱ卷第12題，利用已知代數關系考查不等關系.該試題可參考人教A版數學必修一(2019版)第二章復習參考題綜合應用第5題，因此我們很容易想到利用不等式相關知識尋找突破口，同時還可以利用方程思想、換元思想等通法和賦值法(秒殺)進行判斷.

3 思維導圖

本題目具體解題思路見圖1.

圖1

4 具體解法

方法1:不等式法.

由(x+y)2≤4，得-2≤x+y≤2.故排除選項A.

所以選擇：BD.

方法2：方程思想.

于是(k-1)t2-(k+2)t+(k-1)=0(k≠1)，則Δ=(k+2)2-4(k-1)2≥0，得k≤4，即-2≤x+y≤2，當x=0或k=1時符合條件.

方法總結：該方法采用方程思想，利用方程有解，建立判別式的不等關系.

方法3：換元法一.

解：由x2+y2-xy=1，得

方法總結：該方法對綜合能力的要求較高，學生不易想到.此解法可參考人教版教材2019選擇性必修-第89頁中第10題圓的參數方程.

方法4：換元法二.

方法總結：該方法參考了文衛星編著的《挑戰壓軸題——高考數學》2020版第15頁考點延伸第3題的解法.此方法的核心之處在于將代數關系轉化為橢圓方程，巧妙換元轉化成學生熟悉的知識.該解法是數轉形，對數學抽象、數學建模、邏輯推理等核心素養提出了較高要求.

方法5：賦值法(秒殺).

方法總結：利用等式結構特征適當賦值，巧妙地排除不符合的選項.

5 拓展延伸

對于上述解法4，實際是將代數問題巧妙地轉換成幾何問題，人教A版(2019版)數學選擇性必修一第143頁的回顧與思考中提出方程與曲線的關系“方程f(x,y)=0是曲線的方程”.

故令f(x,y)=x2+y2-xy-1=0，能否判斷點(x,y)的運動軌跡(區域)呢？

答案是肯定的.下面我們介紹繪圖方法，大致判斷點(x,y)的軌跡區域.

不難發現f(x,y)=f(-x,-y)，f(-x,y)=f(x,-y).

接下來只討論兩種情況：

在第一象限作出圖2，由f(x,y)=f(-x,-y)在第三象限作出圖3.

圖2 圖3

圖4 圖5

選項分析：圖5為點(x,y)的軌跡區域，是人教版必修五(2008版)第三章簡單的線性規劃知識，選項A，B表示點(x,y)與直線x+y=1，x+y=-2的位置關系，選項C，D表示點(x,y)與圓x2+y2=1，x2+y2=2的位置關系.

6 試題鏈接

給兩個試題供讀者練習.

鏈接1若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是.

鏈接2已知正實數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則xy+yz的最大值為.