實踐性作業：推動學生思維向更深處漫溯
——以“大樹身高是多少”為例

江蘇省徐州市睢寧縣第二中學

孫紅梅

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出：動手實踐、自主探究、合作交流是學習數學的重要方式.數學學習要實現從書本知識到生活知識的華麗轉身，需要在具體的實踐當中運用所學的知識，不斷地發展數學能力與數學素養.實踐性作業就是從學生的“學”開始，抵達數學的“用”，在參與中不斷發展操作能力，獲得思維的進階、能力的提升.數學實踐性作業既是數學課堂知識的有效強化，也是學生數學生活的充分體驗.在實踐中，可以不斷地發展學生的問題意識，將數學知識與實際生活密切地聯系起來，培養學生解決問題的能力.

1 豐富實踐猜想，讓思維啟航

數學伴隨著人類生活的始終，是人類思維不斷發展、分化的結果，也是人類勞動的重要工具[1].在數學作業設計中，教師要關注數學知識與實際生活的聯系.如，近期校園的中心花園新種植了一棵高大的香樟樹.這棵郁郁蔥蔥、莖直挺拔的大樹頓時成為了學生關注的焦點.這棵香樟樹有多高，也成為了學生關心的問題之一.利用已有的知識進行猜測與驗證，是讓學生實現數學知識向實際生活轉變的內在學習邏輯.

1.1 基于知識的聯系性

九年級“銳角三角函數”是初中數學知識的重點，也是難點.在正常的教學活動與作業設計中，教師一般都是直接出示題目，根據已有數據，利用知識原理進行計算，幫助學生鞏固知識，使學生具備基本解題能力.從知識的聯系出發，將本課的數學方法運用到生活中，基于知識與生活的聯系，將這種能力轉化為數學實踐，不僅能夠考查學生對知識的掌握程度，還能夠不斷指向學生解決問題能力的發展，幫助學生建構起“銳角三角函數”的知識支架.

1.2 基于生活的豐富性

知識來源于生活，服務于生活.在具體的生活實踐中，“銳角三角函數”運用范圍較廣，廣泛存在于人們的生產生活中.如，施工隊鋪設斜坡臺階、船舶離泊應用、車輛測速裝置應用等，都需要用到銳角三角函數知識.但這些知識在書本上是“靜默”的，需要教師根據知識運用到生活的具體路徑，幫助學生實現知識的遷移，讓“靜默”的知識生動起來，活潑起來，“立”在課堂中央.因此，將一些生活中不能直接測量的數學問題，通過知識的轉換，變成可“測量”的問題，既考查了學生解決問題的能力，也豐富了學生學習數學的場景，促進了學生思維的發展.

1.3 基于方法的多元性

解決“大樹身高是多少”的方法很多.比如，“測影長法”，即借助同一時間段物體的高度與影長之間的比例關系，通過建立相似三角形，利用“相似比”進行測量；“標桿測量法”，即將“梯形問題”轉換為“三角形問題”，采取相似比列方程的方式解決問題；“鏡中倒影法”，即根據鏡面對稱性質，借助三角形相似原理進行對應邊的計算，得出結論；還有“直接測量法”等.數學實踐活動的作業設計應該是開放的，能夠讓學生根據學習能力與方法運用選擇不同的解決路徑.

2 開啟實驗活動，讓思維揚帆

中學階段學生已經經歷了形象思維向抽象思維的過渡，但是對于一些概念性的知識，如果沒有經歷生活化的建構，就容易處于一種“似懂非懂”的境地.教師搭建實踐性作業通道，有助于學生思維活動揚帆遠航，讓學生在了解知識、運用知識的同時，通過實踐性作業深刻感受知識存在的價值與意義，實現知識的有效遷移.

2.1 確立實驗目標

在“大樹身高是多少”的作業設計時，教師需要從科學的實驗方法入手，讓學生的思維“活”起來.一是通過具體的操作，利用已有的知識理解測量柱狀物體高度的方法，發現其知識依據；二是通過學生的實踐參與，不斷地發展學生的問題意識，將學生的數學思維從知識向生活過渡；三是借助小組活動，培養學生合作探究的意識.“大樹身高是多少”的問題意義不在于具體地了解大樹的高度，而是讓學生運用數學思維方法，經歷“銳角三角函數”知識的建構過程，實現知識的有效遷移，獲得能力的有效發展，指向發散性思維的進階發展與運用.

2.2 進行小組分工

在中學數學實踐性作業的實施過程中，教師要關注團隊合作的作用.懷特海在《教育的目的》一書中指出：“教育要從個體走向群體，要在集體中發揮大家的智慧，在相互賦能中共同發展.”[2]“大樹身高是多少”數學實踐作業需要在小組合作學習中完成對“測量”方法的運用.首先，以學習小組為單位，確定測量大樹的身高的作業.組長制定本小組測量方案，并組織組員共同研討，優化方案.其次，準備測量用具.在測量的過程中，測量用具有顯性的物質工具，如標桿、卷尺、記錄單等；也有隱性的測量用具，如風向、光線、天氣等.再次，進行小組成員間的任務分工.有的負責方案設計，有的負責工具準備，有的負責測量結果記錄，有的負責表格填寫，有的負責數據計算.最后，進行小組總結.根據小組的活動過程，每名小組成員完成一份作業報告.在數學實踐性作業的小組分工中，一般是將課堂學習小組分工遷移到實踐性作業分工中，這樣一方面便于課堂學習有效向課后學習過渡，另一方面也有利于指向小組學習的評價.

2.3 實施操作驗證

在具體的操作實驗過程中，對于“大樹身高是多少”這個問題的探究，學生一般能夠運用已有的知識，聯系生活經驗進行具體的操作探究.主要包括四種方式.

第一種方式(如圖1)是將樹根與樹梢分別確定為A和B，然后將樹的投影另一端設置為C，再測量A和C的距離；然后拿一根標桿DE進行投影，測量標桿DE的長度及其影長DC′；最后利用△ABC∽△DEC′，計算得出大樹的高度.

圖1

這個實踐操作活動，有利有弊.優點在于操作簡單，易于測量；缺點在于操作實踐耗時較長，易受天氣的影響.在這個過程當中，教師可以引導學生思考有沒有什么方法能夠解決測量中遇到的問題.學生進行小組討論，借助“比”的性質，還可以優化測量方法.

第二種方式中，小組成員也利用了“太陽”，但是巧妙地利用了“同一時間段，物長與影長比值一定”的性質，以小組成員身高為參照物，測出大樹身高，如圖2.在這個小組活動中，為了更加接近樹高的精準數值，小組4名成員先后作為“參照物”上場，測出大樹的高度分別為15.7 m，15.9 m，15.5 m和15.6 m，經過計算平均值，得出大樹高度為15.7 m.

圖2

第三種方法則顯得“簡單粗暴”，小組成員找來了三根竹竿，小組成員將竹竿綁在一起，然后將竹竿在與大樹平行位置立起來，通過測量竹竿的長度得出大樹的高度.在實踐操作中，學生的觀察由于受到視線的影響，誤差較大.為了解決這一問題，小組成員決定在教學樓五樓的走廊觀察，但是距離較遠，同樣影響了測量的精度.

第四小組則是在地面任意一高度設置高為CD的測角儀，測量得到大樹樹梢B的仰角為a，而DE等于AC，AC直接通過卷尺測量就可以精準得到具體的數值，如圖3.然后通過正切求出BE，進而求出AB.在小組的實際操作中，組員為了能夠讓數值更為準確，還設置了不同位置的點C，通過幾組數據求出平均值，得出大樹的高度為15.7 m.

圖3

數學實踐性作業的本質就是讓學生進行自主實踐，在具體的實踐活動中發現問題，解決問題，驗證猜想.在實踐過程中，教師也需要進行有效的指導.如，有的小組在測量時，沒有“太陽”，怎么辦；竹竿長度不夠，如何解決；測角儀的使用是否科學；等等.這些都應該納入實驗操作的關鍵環節予以必要的關注，把實驗活動引向成功.讓學生不僅知道在操作過程中做了什么，而且要知道為什么做這些，不斷培養學生思考、推理、想象能力.

2.4 結論展示交流

當實驗操作結束后，進行展示交流可以有效地將活動引向思維的發展.在展示交流中，一是展示優秀的作業報告，作業報告既要記錄實驗的主要操作過程，也要得出接近大樹高度的測量結果；二是教師要從知識的轉換與應用角度進行評價，讓學生能夠在運用知識的過程中總結出不同的方法與規律，指導學生學以致用；三是在小組交流討論中，不斷讓學生在借鑒當中完善實踐活動，能夠在更豐富、更廣闊、更多元的思維活動中獲得數學能力的發展與進階，進而提升對當下知識的理解與運用能力.

3 感受活動價值，讓思維抵達

實踐性作業是以學生為主體、知識為載體，以能力發展為目標的綜合性活動.在中學實踐性作業設計中，需要從學生數學核心素養的發展出發，通過具體的實踐活動，感受活動的價值，使學生的思維抵達具體的實際生活.

3.1 指向數學抽象與邏輯推理

在“大樹身高是多少”的數學實踐活動中，數學抽象要從數量與數量關系出發，在具體對大樹身高知識的研究當中抽象出普遍規律，并且讓學生通過具體的數學知識予以呈現.在這樣的學習過程中，學生的理性思維得以發展，抽象能力得以培養，問題意識得以強化，有利于學生將具體的數學知識在實際活動中形成知識結構.實踐性作業需要學生設計，設計的過程就是邏輯推理的過程[3].設計的活動必須符合測量物體高度的一般方式.在準備測量用具的過程中，也需要學生從探究“大樹高度”這一知識的本源出發，發現實驗的基本目標，掌握實驗的基本形式，推理探究的基本過程，建構準確的實驗結論，進行有效的表達與交流.

3.2 指向數學建模與數學運算

數學建模是指在具體求大樹高度的過程中，從數學的視角提出大樹身高是多少的問題，運用已有的數學思想進行分析，用精準的數學語言進行描述.這個過程就是模型建構的過程.教師還需要從學生的數學經驗出發，但又不囿于已有的經驗，能夠不斷地進行創新.實踐性作業離不開計算，“大樹身高”需要具體的運算，在這一過程中，學生需要準確地掌握相關的運算法則，選擇合適的運算方法，求得準確的運算結果，得出真實的實踐結論.

3.3 指向直觀想象與數據的分析

直觀想象主要表現在探究過程中空間想象與感知能力的發展.在解決大樹身高是多少的過程中，基本上都需要運用到幾何圖形.在實踐過程中，學生通過具體的圖形來進行分析、推理、論證，有助于發現解決問題的輔助手段.最后是數據的分析.學生通過研究能夠獲得有效的數據，這些數據的作用顯然不是僅僅獲得大樹的身高，還要基于這些數據能夠在生活中解決實際的問題.比如，通過不同年份大樹身高的變化，分析了解大樹的生長情況.在數學實踐性活動中，“活動”只是知識的載體，更需要從能力發展與品格提升角度進行綜合考慮，指向學生的全面發展.

總之，初中實踐性作業需要從學生必備品格與關鍵能力的發展出發.摒棄傳統的作業觀，在“雙減”背景下，真正指向學生綜合能力的發展；設計出更豐富的、更有趣的、更多元的實踐性作業，讓學生在實踐過程中增長知識、發展思維，提升能力.體驗完整的數學化生活，既是課程的使然，也是時代的要求.