重過程，促反思：“二元一次方程”的教學案例

江蘇省如皋初級中學

陸智紅

數學教學的過程教育是關注學生體會知識的發生過程，在探究學習的過程中積累活動經驗，學會思考的方法，提升綜合素質.因此,數學教學不僅要關注結果，更要兼顧過程.過程教育是激發學生學習興趣的動力，通過過程學習才能形成全面的認識，真正讓學習發生.在日常教學中普遍存在過程教育不夠充分，匆匆忙忙展示結果的現象，導致學生的認識不全面，學生的知識遷移能力弱等問題.筆者在教學中也在不斷思考和實踐過程教育，經過不斷的反思和實踐，初步形成了一點自己的認識.本文以“二元一次方程”為例，與大家分享本課的教學設計，供大家討論交流.

1 教學實錄

環節1：發現和提出問題的過程——明確研究對象.

師：我們學習過一元一次方程的應用，同學們學會了在實際問題中應用一元一次方程解決問題，那么我們還能從實際的生活問題中抽象出其他的應用形式嗎？大家思考并討論下面的問題1.

問題1小明要到郵局寄信，一共需要3元8角的郵費，小明現在有一些面額是6角和8角的郵票，請問他用這兩種郵票，一共需要多少張才能湊夠郵資？

師：首先這個問題我們需要解決幾個未知量？你能從中找到幾個等量關系？

生1：需要解決面額是6角和面額是8角的郵票張數這兩個未知量，其中有一個等量關系，面額為6角的郵票張數乘0.6與面額為8角的郵票張數乘0.8的和為3.8元.

師：很好，我們找到了等量關系，那么能否根據這個等量關系列出我們所熟悉的一元一次方程呢？

生2：有兩個未知數，不能列出一元一次方程.

師：如果將面額為6角和面額為8角的郵票的張數分別設為x與y，那么可以列出一個什么樣的方程呢？

生3：0.6x+0.8y=3.8.

師：正確.這說明我們從這個生活問題中構建了含有兩個未知數的方程.事實上，這樣的情景還有許多，如，根據課本的前言內容能列出方程2x+1.2y=10.8；還有方程2a=3b+20也在很多生活場景中可以使用.

師：看來一元一次方程不能應用的場景中，含有兩個未知數的方程也有非常廣泛的用途.那么就需要我們去研究這樣的方程有什么特征？在什么樣的場景下可以使用？該如何求解呢？這節課我們就要來研究這些問題(揭示問題).

環節2：認識二元一次方程的特征活動——形成二元一次方程的概念.

師：請問方程0.6x+0.8y=3.8有哪些特點？

生4：這個方程有兩個特點.第一，有兩個未知數；第二，含有未知數的項的次數都為1.

生5：這個方程左右兩邊都是整式.

師：很好！那么方程2x+1.2y=10.8是否具備這樣的特點？還有方程2a=3b+20呢？

生6：它們都具備這幾個特點.

師：好的，那么我們給這樣的方程下一個定義——含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都為1的方程叫做二元一次方程.就像0.6x+0.8y=3.8，2x+1.2y=10.8，2a=3b+20這些方程一樣.

師：很好！那么一元一次方程和二元一次方程的解有什么區別呢？

生9：一元一次方程只有一個未知數，所以解也是一個數；二元一次方程含有兩個未知數，所以解也是一對，而且不唯一.

師：觀察得很仔細.方程的形式變了，方程的解以及個數自然也發生了變化.

環節3:探索解方程的過程——形成解二元一次方程的思想.

師：怎樣解二元一次方程0.6x+0.8y=3.8？如果把x當成已知數，把該方程看作一元一次方程，可以求y這個未知數嗎？

生10：可以.

師：那反過來，把y當成已知數，可以求解x這個未知數嗎？

生10：當y是已知數時，這就變成了關于x的一元一次方程，所以可以求x的值.

師：很好.那么根據方程0.6x+0.8y=3.8，請嘗試完成以下習題.

(1)用含有x的代數式表示y；

(2)當x分別為0，1，2，3，4，5，6時，請求出相應y的值；

(3)寫出方程0.6x+0.8y=3.8的七個解.

學生思考答題.

師：哪位同學來回答第(1)問？

師：第(2)問哪位同學來接著回答？

師：好，第(3)問誰來？

師：好的，那么方程0.6x+0.8y=3.8一共有多少個解呢？

生14：有無數個解.

師：其中有幾個解是符合問題1的條件？

師：這樣，一開始的問題就解決了.一共需要面額為6角和8角的郵票分別為1張和4張，或者5張和1張.

在方程0.6x+0.8y=3.8中，能不能用含有y的代數式來表示x呢？應該如何求解？

生16：計算的方法和剛才是一樣的.

師：那么我們回顧一下，解二元一次方程0.6x+0.8y=3.8一共有哪幾個步驟？

生17：先將要求的未知數用含有另一未知數的代數式表示出來，接著由一個未知數的值求出另一個未知數相應的值，最后寫出方程的解.

師：很好.那能不能歸納出一個普遍適用的解二元一次方程的步驟？

生18：一共三個步驟.第一步，表示出含有未知數的代數式；第二步，求出兩個未知數相對應的值；第三步，寫出方程的解.

師：總結得很好.其實解方程時采用了化歸思想，也就是將二元一次方程化為一元一次方程，用三個字概括求解過程也就是解、代、寫.

環節4:參與反思提升的活動——總結研究內容和方法.

(1)教師通過思維導圖(如圖1)的方式將本課的研究方法進行了圖示和總結.

圖1

(2)引導學生總結交流，認識到研究的方法和二元一次方程在實際生活中的運用，建構數學模型，積累利用方程解決問題的經驗.

2 教學說明

本課中不僅帶領學生認識了二元一次方程的概念，還引導學生探究了解二元一次方程的方法，在學習過程中滲透了數學的化歸思想，使學生能將方程的知識應用到實際問題中，建構模型，解決具體問題.通過教師的引導和總結，學生總結出解二元一次方程的基本步驟，并反思內化，提升了認識.整個學習過程充分體現了學生的主體地位，學生在自主探究中積累了活動經驗，提升了探究的能力.通過教學，實現了利用數學知識解決現實世界中的數量關系的教學目標，落實了學科的核心素養.本課將重點放在列方程和解方程的過程中，以學生的知識經驗為基礎，鼓勵引導學生自主解決，提升了學生的學習力.

以上教學充分體現了關注過程教育的重要性，讓學生充分體驗知識的產生過程.同時，突出重點，突破難點，讓學生感悟到二元一次方程在現實世界中的運用，體會到二元一次方程解的不唯一性，由具體到抽象，實現了認識的升華，體現了過程教育的價值.