鉆研解法預設鋪墊，對話追問引導回顧
——一道“新定義”考題的教學設計與思考

江蘇省南通市第一初級中學

周紅娟

近年來，隨著不少地區中考卷設計了一些“新定義”考題，使得相關地區不只在九年級的模擬試卷中出現大量“新定義”考題，在七、八年級的期末考試中也出現了很多“新定義”考題．而不少學生對這些推陳出新的“新定義”考題常感束手無策，“新定義”也使得一些學生在解題時增加了畏難情緒．筆者近期圍繞一道新定義考題進行改編、再加工，設計了一節關于新定義考題的“一題一課”專題教學，帶領更多學生挑戰“新定義”考題，增強他們的解題自信，取得了較好的教學效果．本文結合這節課的教學設計，并圍繞新定義考題的解題教學，提出一些思考，提供研討．

1 一道“新定義”綜合題的教學設計

1.1 考題呈現

在平面直角坐標系中，對于點M(a，b)，N(c，d)，作點M關于直線x=c的對稱點M′，當d≥0時，將點M′向上平移d個單位，當d<0時，將點M′向下平移|d|個單位，得到點P，我們稱點P為點M關于點N的對稱平移點．

已知點B(m，m)，點A(1.5m，0)．點C為點A關于點B的對稱平移點，當以A，B，C，O為頂點的四邊形圍成的面積為6時，求點B的坐標．

圖1

1.2 教學環節一：讀懂“新定義”，舉例理解

問題1(出示“新定義”的題干后)若點A(1，2)，M(3，5)，對照“新定義”，分析點A關于點M的對稱平移點的坐標．

教學預設：如圖1，畫出草圖，先求出點A關于直線x=3的對稱點A′(5，2)，再將點A′向上平移5個單位得B(5，7)．如果有學生感覺比較困難，可再提供一個變式——若C(3，1)，求點C關于點M的對稱平移點的坐標．

1.3 教學環節二：運用“新定義”，拾級而上

問題2(在學生初步熟悉“新定義”之后，出示并研究考題)已知點B(m，m)，點A(1.5m，0)．點C為點A關于點B的對稱平移點，當以A，B，C，O為頂點的四邊形的面積為6時，求點B的坐標．

教學預設：先安排學生分析點A，B，C的可能位置，由于字母m的取值范圍沒有限定為正數，還要討論m>0和m<0兩種可能的情形．引導學生構造分析.

圖2

1.4 教學環節三：運用“新定義”，挑戰難題

問題3已知點B(m，m)，點A(1.5m，0)，且m>0．點A向右平移1個單位得到點D，點A向右平移6個單位得到點G，以AD為邊向上作正方形ADEF，以DG為邊向上作正方形DGMN，點P為正方形ADEF的邊上的一個動點，在點P運動過程中，若點B關于點P的所有對稱平移點都在正方形DGMN的內部或邊上，分析m可取的最值(最大值和最小值)．

圖3

1.5 教學環節四：解后回顧，反思提升

小結問題1本課研究的這道新定義考題，首先是理解新定義，其中畫圖分析非常關鍵.你覺得怎樣才能畫出比較準確的圖形？將你的經驗與同學們分享一下．

小結問題3“問題3”中“虛線正方形”是如何生成的？在分析“虛線正方形”的四個頂點坐標時，你覺得怎樣更快？請說說你的理解．

2 關于新定義考題解題教學的一些思考

2.1 深入鉆研新定義考題的解法是備課前提

作為一份試卷中的新定義考題，在呈現時往往力求簡潔，這樣就不會像平時我們在新授課時那樣，對一個新概念要從不同的角度進行定義或解釋.比如，為了說清絕對值的概念，我們會基于數軸直觀地給出定義，然后再給出絕對值的符號表示，最后舉例讓學生理解和運用．而考卷上的新定義，往往只是“單一”給出定義，教師在鉆研這些新定義時，要善于給出新定義的“不同表征”(比如文字表述、符號表達、圖形直觀等)．在此基礎上，再研究問題的解法．值得指出的是，不少新定義考題的第(1)問，往往直接代入計算就能獲得結果，可是由于沒有從圖形的直觀角度對第(1)問進行“再認識”，對于后續較難問題的求解是不利的.如果能在解題的起步階段就對新定義有全方位、多角度、深層次的理解和揭示，特別是幾何結構的揭示與理解，對后續較難問題的思路獲取會有很大幫助．對于教師的課前備課，深入鉆研新定義考題的解法，深刻理解新定義的幾何結構是備課的前提和關鍵．

2.2 圍繞較難題預設鋪墊式問題是教學關鍵

在深刻理解新定義之后，對設問中的較難題要想清有哪些關鍵步驟，接著針對這些關鍵步驟預設鋪墊式問題.鋪墊式問題常常體現了“例值引路”“以退為進”等解題策略．具體來說，為了解決某個較難題，可能會先舉一個讓學生容易理解的例子，然后再拾級而上，給出一個相對有難度的“臺階”問題[1]，在這些鋪墊問題的熱身練習之后，學生再迎難而上，挑戰難題，思路自然而然就生成了，這樣不但實現了問題解決，而且幫助學生收獲了解題自信．需要指出的是，課前預設的鋪墊式問題應該更加“細致和密集”(可將“學情”想象得更弱作為預設鋪墊問題或啟發式問題的起點)，然而在具體教學實施時，要根據學情的實際情況出示鋪墊式問題．比如，教學進程中，當有少數優秀學生已“跳過”課前預設的好幾個鋪墊式問題時，教師為了幫助更多還沒跟上解題進度的學生，可以“打斷”學生的講解，請該學生講講他“跳過”的一些關鍵步驟，展開思維過程，讓更多的學生跟上解題進度．這樣，課前預設的有些鋪墊式問題就不必出示了，因為已有學生幫助提供了這些鋪墊式問題的講解．

2.3 新定義考題講評之后要安排回顧與反思

新定義考題一般都是在每份試卷中的最后一題(也稱“壓軸題”)，這類考題的最后一問往往綜合性較強，成功解題需要打通多個關鍵步驟．這就要求教師在講評這類較難題時，要充分預設解后回顧與反思的環節．如上文教學設計中所見，精心預設“小結問題”，組織和引導學生學會從不同角度進行回顧反思，才能促進深入反思、有效提煉，積累解題策略，感悟解題經驗[2]．在預設“小結問題”時，要防范“大而空”的問題，比如“這節課學到了什么”“這節課感悟了什么思想方法”“你還有哪些疑惑”之類．預設出針對性強的小結問題，才能促進學生對解題過程中的關鍵步驟、易錯點、表達細節等達到更好的回顧、反思與提升．