構建數學生長平臺 讓生長數學水到渠成

江蘇省揚州市邗江區實驗學校

杜成智 劉黎銘

近期閱讀了卜以樓老師的《生長數學：卜以樓初中數學教學主張》以及刊登在2021年第2期《中學數學教學參考》上潘紅玉編委對卜以樓老師的專訪文章《生長數學：新時代數學教育的行為自覺——訪本刊編委卜以樓老師》，感觸頗深.

《生長數學》是卜以樓老師幾十年教育思想的集大成，書中提出生長數學是對教育本質的回歸，生長數學凸顯教育價值、聚焦核心素養、營造思維必然、創設意識喚醒、培育學習“靜”界.筆者在一線教學中，深深體會到生長數學就是讓數學生長化、可視化、藝術化，讓數學知識“看得見”，“數學活動”摸得著，“數學思維”帶得走，讓學生回歸數學核心、數學本質、數學素養.

在教學過程中，教師應當以學生為主體，因勢利導，順勢而為，構建數學生長平臺，讓學生走進生動活潑的數學世界，在生動的教育情境中生成知識技能，讓生長數學水到渠成.

1 依托課本習題，構建生長平臺

教材中的例、習題是經過編者反復篩選、精心設計而來，有些題目看似淺顯，實則蘊含豐富，只要運用得當，深入淺出，引導學生從舉一反一到舉一反三，內化思想，可以起到以一當百的效果.

圖1

例1(蘇科版八年級上冊數學第57頁第5題)已知：如圖1，AB=AC,DB=DC,點E在AD上.求證：EB=EC.

在學習了線段垂直平分線后，給出了上面的題目.

師生活動：學生獨立思考，教師巡視，巡視中發現大部分學生都會證明，使用的方法是——根據AB=AC，DB=DC，AD=AD，先證△ABD≌△ACD(SSS)，得到∠BAD=∠CAD,再證△ABE≌△ACE(SAS)，就可得到EB=EC.教師把學生的這種方法投影展示出來進行分析，并讓學生討論這種方法好不好.學生議論紛紛，大部分都認可這種方法，覺得蠻好的.(因為他們也是這樣做的.)

但也有部分學生提出了異議，教師請其中一位學生給予說明.這位學生認為上面的方法太麻煩了，完全可以不用證全等.不少學生覺得不可思議，而該生給出了如下證明.

圖2

證明：如圖2，連接BC,因為AB=AC，所以點A在BC的垂直平分線上.同理，點D在BC的垂直平分線上.

故AD是BC的垂直平分線.

又因為點E在AD上，所以EB=EC.

教師詢問學生，這種證明方法行不行？并讓學生討論上述證法的依據是什么.

不少學生覺得很驚奇，這個方法好簡單，但就是有點不太理解.教師讓那位學生講解他的思路，并解釋是怎么想到的.該生說：主要是在學了“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”這兩個定理后想到的，本題只要證明了點E在線段BC的垂直平分線上，就可以得到EB=EC.這為證明兩條線段相等提供了新的方法，以后只要符合這種條件的就不需要再證全等了[1].

聽了他的講解，大家都認為第二種方法很妙，不由得為他鼓起掌來.該生也融入了其中，興奮地又說道，可以把這道題目中的已知和結論分別編號為：①AB=AC；②DB=DC,點E在AD上；③EB=EC.如果把結論③與條件①②中的任意一個互換，仍然可以運用同樣的方法解決.學生都躍躍欲試.

比如，已知：如圖2，③EB=EC,②DB=DC,點E在AD上.求證：①AB=AC.

學生思考后，選擇一名之前運用全等證明的學生口答.

證明：因為EB=EC，所以點E在BC的垂直平分線上.同理，點D在BC的垂直平分線上.

故DE是BC的垂直平分線.

又因為點A在DE上，所以AB=AC.

全班報以熱烈的掌聲.

評析：在例題的選擇上，首先要營造聯想的自然性，問題的起點要低，要讓大部分學生“想得到”.例1是在學習“全等”與“線段的垂直平分線”后設置的一道題目，容易入手，但真正能運用線段垂直平分線的相關定理解題的學生是少數.此時可以因勢利導，采用“兵教兵”“兵助兵”的方法達到“想得妙”“想得透”,從而達到數學的共同生長.

2 精設有效提問，構建生長平臺

在數學課堂教學中，針對學生探索環節的問題設計必不可少，它可以引領學生及時思考和探究.因此，依據教學內容和目標，精設有效問題，加強變式訓練，讓學生在探索和分析的過程中，逐步提高數學素養[2].

在教學“勾股定理的應用(2)”這一內容時，可以設計以下環節引導學生進行探究.

例2如圖3，已知△ABC為等邊三角形，其邊長為6，求△ABC的面積.

圖3

圖4

此例作邊BC的高AD便可解決.為了達到訓練學生遷移運用知識的目的，筆者設計了以下變式訓練.

變式1如圖4，已知△ABC中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC的面積.

通過變換題設將等邊三角形轉換為等腰三角形，實現了特殊到一般的過渡，由于變式1與例2解法相似，學生解起來也不太費勁.在引領學生小結歸納時，可以借助以下“問題串”來激活學生的思維.

問題1請分析例2和變式1的共同點，在解題的過程中都運用了哪些數學知識？

(這兩個問題都是通過作一條邊的高來求解的，也同時運用了等腰三角形的“三線合一”定理以及勾股定理解決問題.)

問題2從解題策略分析可得“求等邊三角形的面積僅需找出三角形的邊長”，那么求等腰三角形的面積時，需要知道哪些條件呢？

問題3還可以通過哪些條件去求三角形的面積？

問題4如果將變式1題設中的“AB=AC=17，BC=16”變為“△ABC的周長為50，AB=AC，且其底邊的高為15”，能否求出該等腰三角形的面積？

圖5

變式2如圖5，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周長及面積.

變式3如圖5，已知△ABC中，AB=15，AD=12，BD=9,AC=13，求△ABC的周長及面積.

變式4分別以△ABC的三條邊AB，AC，BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別為S1，S2和S3，且S1=S2+S3，試判斷△ABC的形狀.

評析：以上一系列變式訓練，由易到難，從特殊到一般，通過改變條件或結論，培養學生的深層次探究意識和自主探究精神，引導學生靈活運用勾股定理找到解決問題的路徑；同時借助階梯式問題設計，進一步提升學生的應用能力和巧借“數形結合”與“轉化”思維解決問題的能力；借助解決一道題延伸到一類題的解題策略，拓展學生解決問題的思路，培養學生的探究意識，凸顯“以少勝多”的優勢，達到融會貫通的效果[3].

總之，教學的目的是為了學生的不斷成長，以學生的終身發展為導向.在教學中構建前后一致、邏輯連貫、一以貫之的生長平臺，讓學生通過自身的努力探究，掌握數學核心知識，讓整個學習過程變得更有韻味.學生在這樣的活動中逐步學會發現、學會發明，最終得以發展，讓數學生長水到渠成.