“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)
——“反比例函數(shù)單元復(fù)習(xí)課”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

趙紅琴

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系.”數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課就是幫助學(xué)生鞏固、梳理、整合和提升的過(guò)程，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題.下面筆者以“反比例函數(shù)單元復(fù)習(xí)課”為例，談?wù)劵凇吧L(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì).

1 “生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念下的教學(xué)價(jià)值判斷

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的基本函數(shù)之一，是中考的必考內(nèi)容.反比例函數(shù)的主要內(nèi)容包括概念、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用.反比例函數(shù)相比已經(jīng)學(xué)過(guò)的一次函數(shù)有明顯的不同：從“式結(jié)構(gòu)”[1]來(lái)看，表達(dá)式右邊一個(gè)是整式，一個(gè)是分式.從“形結(jié)構(gòu)”[1]來(lái)看，一個(gè)是連續(xù)的直線；一個(gè)是曲線，分兩支.反比例函數(shù)難度明顯增加，是對(duì)一次函數(shù)的提升.從整體來(lái)看，反比例函數(shù)所處的位置至關(guān)重要，與前面的一次函數(shù)、方程、不等式、三角形、四邊形、分式都有著密不可分的聯(lián)系，也是今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)以及高中函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ).反比例函數(shù)的復(fù)習(xí)課起承上啟下的作用，優(yōu)化的設(shè)計(jì)必然起到事半功倍的作用.

從學(xué)生角度來(lái)看，學(xué)生已經(jīng)具備了坐標(biāo)系、函數(shù)的知識(shí)，并類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)反比例函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行了探究，積累了研究函數(shù)的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)建立函數(shù)模型和數(shù)形結(jié)合思想也有了進(jìn)一步的體會(huì).但是，學(xué)生對(duì)反比例函圖象和性質(zhì)的理解并不深刻，特別是對(duì)于反比例函數(shù)增減性的理解經(jīng)常與一次函數(shù)混淆，對(duì)于與方程、不等式的綜合判斷以及與四邊形的整合問(wèn)題都有一定的困難.因此，本節(jié)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)確定為：以數(shù)形結(jié)合思想為立意，通過(guò)讀圖、識(shí)圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，通過(guò)問(wèn)題串探究構(gòu)建反比例函數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，通過(guò)拓展延伸完善知識(shí)體系．難點(diǎn)是深層次理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

本節(jié)課從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，設(shè)計(jì)生長(zhǎng)途徑，經(jīng)歷從點(diǎn)狀教學(xué)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)化教學(xué)的過(guò)程，創(chuàng)造具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)課堂，激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)體系，在合作交流中提高解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)價(jià)值指引下的活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1 情境引入，激活結(jié)構(gòu)

問(wèn)題1如圖1，根據(jù)圖象你能得到什么信息？

圖1

圖2

預(yù)設(shè)生成：結(jié)合圖形學(xué)生可以讀出——這是一個(gè)反比例函數(shù)的圖象；圖象在一、三象限，k>0；在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小.引導(dǎo)學(xué)生舉例說(shuō)明為什么要強(qiáng)調(diào)“在每一個(gè)象限內(nèi)”，加深對(duì)增減性的理解.反比例函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，直線y=x和y=-x是其對(duì)稱軸.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一個(gè)開放式的問(wèn)題對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)和歸納，也是對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行復(fù)習(xí)和梳理.由于起點(diǎn)低，各個(gè)層次的學(xué)生都有能力參與，通過(guò)小組合作、自主表達(dá)、相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，激發(fā)學(xué)生思維，也為后續(xù)的復(fù)習(xí)做準(zhǔn)備.

2.2 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)1——不等式與一次函數(shù)

圖3

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可以利用不等式進(jìn)行解答或者結(jié)合圖象進(jìn)行直接判斷.由此得到x>1時(shí)，02.

學(xué)生能輕松說(shuō)出B點(diǎn)坐標(biāo)是(3，2)，也能求出直線AB的解析式為y=-2x+8.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2一方面可以通過(guò)不等式進(jìn)行解答，另一方面也可以結(jié)合圖象直接判斷.但追問(wèn)中的問(wèn)題，如果再解不等式就非常麻煩，而根據(jù)圖象就非常簡(jiǎn)單.讓學(xué)生體會(huì)反比例函數(shù)與一次函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，深刻體會(huì)到用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問(wèn)題的優(yōu)越性，提高學(xué)生的閱圖能力.

2.3 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)2——圖形的面積

問(wèn)題3在上述追問(wèn)的條件下，連結(jié)OA和OB，求△OAB的面積.

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生先獨(dú)立思考，小組交流，然后逐一展示不同的解法.可能會(huì)出現(xiàn)以下幾種方法,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié).

圖4

圖5

圖6

法一：如圖4，S△OAB=S△OAF-S△OBF=8或S△OAB=S△OBE-S△OAE=8.法二：如圖4,S△OAB=S矩形OHPG-S△OAG-S△OBH-S△APB.法三：如圖5，S△OAB=S梯形AMNB+S△OAM-S△OBN.法四：如圖6，S△OAB=S△OAS+S△BAS.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同的方法，促使學(xué)生對(duì)坐標(biāo)系內(nèi)利用割補(bǔ)法求圖形的面積有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí).引導(dǎo)學(xué)生歸納割補(bǔ)法的本質(zhì)是“化斜為直”，充分利用平行于坐標(biāo)軸的線段進(jìn)行割補(bǔ).從“形”的角度轉(zhuǎn)化為圖形的面積的和或差求解，從“數(shù)”的角度轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求水平線段或者鉛垂線段的長(zhǎng)度.割補(bǔ)法的復(fù)習(xí)和深化為學(xué)生今后解決二次函數(shù)中的面積問(wèn)題積累了經(jīng)驗(yàn)，具有長(zhǎng)遠(yuǎn)意義.

2.4 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)3——平行四邊形

問(wèn)題4在上述追問(wèn)的條件下，如圖7,作直線OA，OB，分別交拋物線的另一支于點(diǎn)C，D，試判斷四邊形ADCB的形狀.

圖7

圖8

預(yù)設(shè)生成：由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知，OA=OC,OB=OD,得到四邊形ADBC是平行四邊形.學(xué)生根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)還可以很快求出四邊形ADCB的面積是△OAB面積的4倍.

讓學(xué)生分組討論，展示不同的畫法，并由學(xué)生解釋畫法的依據(jù).

追問(wèn)2：若已知A(1，6)，B(6，1)，如何分別在x軸和y軸上各找一點(diǎn)P,Q，使得P，Q，A，B四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.讓學(xué)生分析思路，課后解答.

設(shè)計(jì)意圖：“平行四邊形”和“反比例函數(shù)”的圖象都是中心對(duì)稱圖形，問(wèn)題4及追問(wèn)讓學(xué)生充分體會(huì)利用對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)來(lái)判定平行四邊形的簡(jiǎn)潔.追問(wèn)1讓學(xué)生動(dòng)手畫矩形并說(shuō)明依據(jù)，這一過(guò)程引發(fā)學(xué)生對(duì)矩形判定方法的深度思考，激活了學(xué)生儲(chǔ)存的知識(shí).“平行四邊形”和“反比例函數(shù)”兩個(gè)章節(jié)都在蘇教版八下教材中，這樣的設(shè)計(jì)將二者有機(jī)結(jié)合，起到了跨章復(fù)習(xí)的效果，體現(xiàn)了大單元整體設(shè)計(jì)的理念，體現(xiàn)了知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和整體性，有效促進(jìn)學(xué)生整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成.

2.5 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)4——圖形的運(yùn)動(dòng)

圖9

圖10

設(shè)計(jì)意圖：圖形的運(yùn)動(dòng)變換始終貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問(wèn)題5以一道中考題作為拓展延伸，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)新的情境.反比例函數(shù)的圖象出現(xiàn)在不同尋常的位置，激發(fā)了學(xué)生不一樣的思維靈感，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想和思考，讓本節(jié)課的設(shè)計(jì)變得更為新穎和靈動(dòng)，透過(guò)場(chǎng)景看本質(zhì)，方法遷移，難點(diǎn)化解,從而達(dá)到問(wèn)題解決的目的.

2.6 反思悟?qū)W，再生結(jié)構(gòu)

教師和學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)課的體會(huì)，進(jìn)一步構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)師生互相補(bǔ)充總結(jié)，學(xué)生完善已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)反比例函數(shù)有更深入的了解，同時(shí)讓思路關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)方法得到梳理，能力得到提升.如圖11所示.

圖11

3 活動(dòng)設(shè)計(jì)下的教學(xué)思考

3.1 一圖一課，促進(jìn)自然生成

本節(jié)課以最簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)圖象為生長(zhǎng)點(diǎn)設(shè)置了開放性的問(wèn)題，激活學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，設(shè)置了五個(gè)遞進(jìn)式問(wèn)題作為生長(zhǎng)途徑，以適時(shí)的追問(wèn)啟發(fā)學(xué)生深層思考，發(fā)展學(xué)生的思維；指導(dǎo)學(xué)生閱圖，幫助學(xué)生從形的特征、解析式的結(jié)構(gòu)上得到統(tǒng)一理解，有序比較，使相互關(guān)系一目了然，進(jìn)一步促進(jìn)問(wèn)題依次深入、層層展開、渾然一體.尊重學(xué)生思維的差異性，讓問(wèn)題更具開放性、層次性，激發(fā)不同層次學(xué)生的參與，讓反比例函數(shù)的核心知識(shí)在問(wèn)題串的引導(dǎo)下慢慢生長(zhǎng).

3.2 問(wèn)題關(guān)聯(lián)，彰顯結(jié)構(gòu)化教學(xué)

結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)可以體現(xiàn)知識(shí)的整體性、思路的關(guān)聯(lián)性和方法的遷移性[2].本節(jié)復(fù)習(xí)課，不僅把反比例函數(shù)離散的知識(shí)串聯(lián)了起來(lái)，還通過(guò)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)把反比例函數(shù)和前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的平行四邊形等知識(shí)有機(jī)整合，達(dá)到跨章復(fù)習(xí)的效果，充分體現(xiàn)了知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性.課堂上適時(shí)的追問(wèn)和變式激活學(xué)生的靈感，很好地促進(jìn)了深度思考，讓學(xué)生的思路得到拓展、延伸.歸納和總結(jié)環(huán)節(jié)給學(xué)生厘清思路的時(shí)機(jī)，促使解題方法得到優(yōu)化和遷移，學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維在感悟中逐步形成.

3.3 自主探究，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)題起點(diǎn)低，給不同層次學(xué)生機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生表達(dá)的熱情，為活動(dòng)起到很好的鋪墊作用.活動(dòng)過(guò)程中采用了一題多解、自主提問(wèn)、互編互助等形式，給學(xué)生創(chuàng)造了小組合作的情境，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生深度參與，處處體現(xiàn)了以生為本、讓知識(shí)與生命共同成長(zhǎng)的理念.以數(shù)形結(jié)合思想為主，滲透了轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，有效地發(fā)展了學(xué)生核心素養(yǎng).