6自由度液壓機器人末端執行器控制策略

李亞昆，崔戰友

（鄭州工業應用技術學院 機電工程學院，河南 鄭州 451100）

目前，機器人的驅動主要采用電機、液壓和氣動系統。液壓驅動系統具有反應速度快、運動穩定、強負荷力［1-2］等優點，較快占據了主導地位。但也存在一些不足，比如機器人關節尺寸受到限制，不適合重型場合；液壓系統閥控的動態特性不連續，易受到負載的擾動等，使得機器人運動精度下降。與國外發達國家相比，我國在機器人液壓驅動系統方面的研究起步較晚，存在一定的差距。如何在短時間內提高機器人液壓驅動控制精度，盡快趕超國外液壓機器人先進控制技術，使得機器人在復雜環境中保持較高的輸出精度，是科研人員研究的熱門方向。因此，提升機器人液壓驅動控制性能，具有十分重要的意義。

當前，為了提高機器人末端執行器定位精度，國內外學者對機器人末端執行器定位精度展開了研究。Navid等［3-4］研究6自由度并聯機器人線性化徑向基函數（radial basis function，RBF）神經滑模控制方法，通過仿真驗證其跟蹤效果，仿真結果滿足了設計的要求。朱龍英等［5-6］研究并聯機器人神經網絡自適應控制方法，將改進的粒子群算法用于神經網絡比例積分微分（proportional integral derivative，PID）控制參數調整，從而得到并聯機器人最優控制參數。明瑞浩等［7-8］研究2 自由度并聯機器人非線性同步控制方法，設計了機器人非線性同步控制方案，通過仿真驗證機器人末端執行器跟蹤誤差，具有較好的跟蹤精度。以往研究的并聯機器人末端執行器，在控制精度方面有所提高，但隨著企業加工精度的要求越來越高，現有控制精度已較難滿足高精度產品的需要。因此，本文建立6 自由度液壓并聯機器人示意圖，設計了增量式非線性逆控制方法。在不同期望信號條件下，通過Matlab軟件對并聯機器人末端執行器位置跟蹤誤差進行仿真，對比非線性逆控制方法的輸出效果，為深入研究6 自由度并聯機器人末端執行器跟蹤誤差提供參考價值。

1 液壓系統動力學模型

本文研究的6自由度液壓并聯機器人如圖1所示，主要包括上下2 個平臺、6 個伺服液壓缸和6 個活塞桿。圖1 中，XaYaZa-Oa為上平臺坐標系，XbYbZb-Ob為下平臺坐標系，1、2、3、4、5、6 為6 個液壓缸。下平臺為基座，通常固定不動，通過液壓缸驅動上平臺運動。液壓驅動系統如圖2 所示，圖中，xm為滑閥位移，q為執行器位移矢量。當滑閥向左移動時，液壓油通過油管流入氣缸室，驅動執行器向右移動；當滑閥向右移動時，液壓油通過油管流入氣缸室，驅動執行器向左移動。執行器向左或者向右移動，從而驅動6 自由度機器人上平臺的伸長與縮短。

n桿機器人的剛體動力學方程一般采用Ⅱ階非線性微分方程。特別是對于本研究中所考慮的并聯機器人系統，采用牛頓-歐拉方法來獲得笛卡爾空間中的動力學方程如下：

式中：z、s′和s″分別為笛卡爾空間中定義的末端執行器位姿、速度向量和加速度向量；F為驅動力矢量；M為質量矩陣；η為離心力和科里奧利力矩陣；J為雅可比矩陣。

典型閥門控制的單對稱液壓執行機構如圖2所示。

Φp1、Φp2分別為流入和流出氣缸室的液壓油流量，Ps、Pt分別為供油和回油壓力。

液壓缸動力學方程［9-10］為

式中：Ap為活塞面積，m2；Cl為泄漏系數，L/s·Pa；PL=（Pp1-Pp2）為液壓缸壓力差，Pa；Φm=(Φp1-Φp2)/2 為液壓油流量，L/s；Cm為液壓油液壓剛度，Pa/L；q為執行器位移，m。

液壓油液壓剛度表達式［11］為

式中：E為液壓缸油的體積模量，Pa；V1和V2為氣缸室體積，L。

對于具有匹配和對稱節流孔的理想臨界中心閥，液壓油流量表達式為

式中：Cd為流量系數，L/m3；w為孔口寬度，m；xm為滑閥位移，m；Ps為供油壓力，Pa。

將最大閥門行程xm，max和零負載壓力下的最大流量定義為

由式（3）和式（5）可以得到如下表達式：

式中：GA（PL，xm，q）為一個函數表達式；fA（PL，q，q′）為一個函數表達式；u為控制輸入。

2 增量非線性動態逆控制

n階非線性控制輸入系統方程式［12］定義為

式中：f為向量場；d為外部干擾；G為控制效果矩陣；h（x）為一個函數表達式。

x、d、h假設是連續的。假設f（x）和G（x）是x的函數，所有微分都是有界的。

假設h（x）=x，系統的相對度為（1，1，…，1）1×n，輸出的Ⅰ階時間導數為

式中：y=f（x）為一個函數。

對于m=n的全驅動系統，如果G（x）是可逆的，采用傳統的非線性動態逆或一般的反饋線性化方法。與非線性動態逆方法不同，為了得到所研究系統的增量形式，在每個采樣間隔（用下標0 表示）的開始時刻，應用泰勒級數對［13］式（9）中的系統動力學展開后得到表達式如下：

假設對式（10）等式定義為

式中：O為無窮小的一種表示符號。

則式（10）可轉換為

式中：x′0為系統狀態導數。

利用x和d的連續性及f（x）和G（x）微分的有界性，將式（11）的極限計算為

式（12）中的系統輸入u不假定連續性。在給定的每個采樣間隔內，采用式（12）中的非線性動態逆設計增量非線性動態逆控制律，表達式為

式中：v為偽控制輸入。

對于每個采樣間隔，計算控制增量Δu=G-1（x0）（v-x′0）并遞歸地添加到u0，即前一個樣本的集成或測量控制輸入，如圖3所示。

圖3 增量非線性動態逆控制器Fig.3 Incremental nonlinear dynamic inversion controller

由于系統被線性化為單積分器，因此，通常選擇簡單的比例控制器作為偽控制ν。圖3 給出了增量非線性動態逆控制器的一般結構，其中表示單個采樣時間Ts中的傳輸延遲。當G存在模型不確定性時，用估計值?作為控制器。

因此，式（14）寫成遞歸離散形式為

式中：uk、uk+1為控制輸入k次和k+1 次；xk-1、x′k-1為控制輸入k-1次和k-1次變化率。

由式（12）和式（14）可得表達式如下：

由式（13）和式（16）可知，在無限小的采樣時間下，系統是完全線性化的。簡單地選擇線性控制律v=x′d+Kp（xd-x），則系統誤差動力學表達式如下：

式中：e=x-xd為誤差；x為實際軌跡；xd為期望軌跡。

3 結果與分析

6自由度液壓并聯機器人末端執行器采用增量式非線性逆控制方法，通過Matlab軟件進行仿真驗證，可知執行器跟蹤誤差效果，并與非線性逆控制輸出結果進行對比。仿真參數設置如下：執行器等效質量m= 3 000 kg，液壓缸行程l=1.0 m，負載力F= 50 kN，工作壓力為P=150 bar，仿真時間t=4 s。

假設并聯液壓機器人末端執行器期望信號如圖4 所示，則采用非線性逆控制方法跟蹤誤差如圖5 所示，采用增量式非線性逆控制方法跟蹤誤差如圖6所示。

圖4 階躍波信號Fig.4 Step wave signal

圖5 非線性逆控制方法Fig.5 Nonlinear inverse control method

圖6 增量式非線性逆控制方法Fig.6 Incremental nonlinear inverse control method

由圖5 和圖6 可知，如果機器人末端執行器期望信號為階躍信號，采用非線性逆控制方法，機器人末端執行器產生的最大誤差為1.39×10-2m，當控制系統處于穩定狀態時，其誤差在［-0.5×10-2， 0.5×10-2］ m 范圍內。而采用增量式非線性逆控制方法，機器人末端執行器產生的最大誤差為0.8×10-2m，當控制系統處于穩定狀態時，其誤差在［-0.3×10-2， 0.3×10-2］ m 范圍內。同等條件下，通過輸出誤差對比，采用增量式非線性逆控制方法，機器人末端執行器輸出誤差較小，能夠提高機器人末端執行器追蹤精度。

4 結論

針對6 自由度液壓機器人末端執行器運動軌跡跟蹤誤差較大問題，設計了增量式非線性逆控制的液壓系統，通過仿真驗證末端執行器跟蹤效果，主要結論如下。

（1） 采用非線性逆控制方法，6 自由度液壓機器人末端執行器跟蹤誤差較大，而采用增量式非線性逆控制方法，6 自由度液壓機器人末端執行器跟蹤誤差較小。

（2） 采用Matlab 軟件對機器人末端執行器跟蹤誤差進行仿真，可以檢驗不同控制方法輸出效果，為設計人員提供參考資料，避免控制方法設計不當而造成控制系統輸出精度下降。