計算特定群體中雜合子比例的一個簡便公式
——從2022年6月浙江高考25題D項談起

鄭 晶

(浙江省金華市外國語學校)

1.真題呈現

(2022年6月浙江高考25題)下圖為甲、乙兩種單基因遺傳病的遺傳家系圖,甲病由等位基因A/a控制,乙病由等位基因B/b控制,其中一種病為伴性遺傳,Ⅱ5不攜帶致病基因。甲病在人群中的發病率為1/625。不考慮基因突變和染色體畸變。下列敘述正確的是

( )

A.人群中乙病患者男性多于女性

B.Ⅰ1的體細胞中基因A最多時為4個

C.Ⅲ6帶有來自Ⅰ2的甲病致病基因的概率為1/6

D.若Ⅲ1與正常男性婚配,理論上生育一個只患甲病女孩的概率為1/208

參考答案:C

D項解析:由遺傳家系圖結合題干“其中一種病為伴性遺傳”可知甲病為常染色體隱性遺傳病,乙病為伴X染色體顯性遺傳病。單獨考慮乙病,由于Ⅲ3表型正常,可知Ⅱ2的基因型為XBXb,Ⅲ1的基因型及概率為1/2XBXB、1/2XBXb,正常男性的基因型為XbY,婚配后生育一個不患乙病的女孩(XbXb)的概率為1/2×1/4=1/8。單獨考慮甲病,Ⅲ1的基因型為Aa,正常男性的基因型為AA或Aa。要想求出其中Aa的概率,需利用題干中“甲病(aa)在人群中的發病率為1/625”這一條件,根據哈迪-溫伯格定律,先算出a的基因頻率q=1/25(式①)、A的基因頻率p=1-q=24/25(式②);再得出該群體中AA的基因型頻率p2=242/625(式③)、Aa的基因型頻率2pq=2×24/625(式④);最后推導出正常人(A_=AA+Aa)基因型為Aa的概率=正常人群中雜合子比例=2pq/(p2+2pq)=(2×24/625)/(242/625+2×24/625)=1/13(式⑤)。所以,Ⅲ1與正常男性婚配后生育一個患甲病的孩子(aa)的概率為1/13×1/4=1/52。綜上,同時考慮甲乙兩病,Ⅲ1與正常男性婚配,理論上生育一個只患甲病女孩的概率=1/8×1/52=1/416,D項錯誤。

從上述解析不難看出,D項的煩瑣計算主要集中在由人群中a的基因頻率(式①)推導正常人群中Aa比例(式⑤)的步驟,可謂既耗時又易錯,部分學生因考試時間緊迫不得不放棄對該選項的解答。然而此類題型在近年浙江高考中卻頻繁出現,往往位于選擇題壓軸題中,如2017年11月28題、2019年4月28題、2020年1月25題、2022年6月25題。為破此困局,筆者對大量同類試題進行了比較分析、尋找規律,最終歸納出了一個簡便公式。該式無需進行式②、式③、式④的復雜演算,可直接從式①求出式⑤。經實踐證明,簡便公式對提升此類問題的解題速度及正確率頗有助益。

2.公式推導

2.1簡便公式1

參考上題中由a基因頻率=1/25(式①)推導A_中Aa比例=1/13(式⑤)的過程,將遺傳平衡群體中的a基因頻率設為1/n,則A基因頻率=1-1/n=(n-1)/n,AA基因型頻率=(n-1)2/n2,Aa基因型頻率=2(n-1)/n2,A_中Aa的比例=[2(n-1)/n2]/[(n-1)2/n2+2(n-1)/n2]=2/(n+1)。這便是簡便公式1的表達式。具體到上題,將n=25帶入簡便公式1,即可快速求出A_中Aa的比例=2/(n+1)=2/(25+1)=2/26=1/13。

2.2簡便公式2

并非所有群體的a基因頻率寫成分數時,分子均為1。設a基因頻率的分子為m,即a基因頻率=m/n,則A基因頻率=1-m/n=(n-m)/n,AA基因型頻率=(n-m)2/n2,Aa基因型頻率=2m(n-m)/n2,A_中Aa的比例=[2m(n-m)/n2]/[(n-m)2/n2+2m(n-m)/n2]=2m/(n+m)=(m+m)/(n+m)。這便是簡便公式2的表達式。事實上,簡便公式1是簡便公式2中m取1時的特殊結果,故下文只對簡便公式2進一步分析,并稱之為“簡便公式”。

對于遺傳平衡群體,將a的基因頻率整理成分數形式m/n,然后對分子、分母分別加上分子m,使分子變成m+m,分母變成n+m,即得到A_群體中Aa的比例。

如某群體中a基因頻率=7/100,則顯性表型群體(A_)中雜合子(Aa)的比例=(7+7)/(100+7)=14/107。可見,簡便公式省去了常規解法中繁復的中間步驟,一步即算出答案,既便捷又準確。

需要說明的是,之所以將簡便公式中分子的2m描述為m+m,是為了在實際應用中將分子與分母的變化相統一,更易于記憶。

糖尿病組尿微量白蛋白陽性檢出率為69.85%(397/2 000)，尿糖陽性檢出率為66.30%(1 326/2 000)，聯合檢測陽性檢出率為73.65%(1 473/2 000)，均顯著高于健康對 照組的 1.60%(8/500)、1.20%(6/500)、2.20%(11/500)，差異有統計學意義（P＜0.05），見表 2。

3.公式含義

“矩形拼接法”有助于直觀理解簡便公式的含義。如圖1甲所示,正方形BCDE邊長為n,點F、G、H、K分別是位于四條邊上的點,并將各邊分為n-m及m兩段。連接FG、HK,相交與點J,正方形BCDE被分割成四個小矩形。

邊長含義:BF/BC=(n-m)/n,表示A基因頻率;FC/BC=m/n,表示a基因頻率。其他各邊同理。

面積含義:正方形BFJH/正方形BCDE=(n-m)2/n2,表示AA基因型頻率,其他各矩形同理。

當求解A_群體中Aa比例時,先將表示aa的矩形JKDG去除(圖1乙),再將矩形HJGE(灰色)旋轉90°,拼接至矩形FCKJ的右側(圖1丙),使邊CK與邊JH重合。由于這兩個表示Aa的矩形大小形狀完全一致,故拼接后可得到一個新的完整矩形BG′E′H。此時Aa占A_的比例=矩形FG′E′J的面積/矩形BG′E′H的面積=FG′的長度/BG′的長度=(m+m)/(n+m)(矩形的寬相同,已約去),簡便公式得證。

簡言之,已知的是甲圖中a基因頻率=FC/BC,要求的是丙圖中A_中Aa的比例=FG′/BG′,兩者的區別就在于分子分母同時加了一段長度為m的CG′。而實現從面積之比(基因型頻率)到邊長之比(基因頻率)轉化的,正是矩形拼接過程。由此亦可推測,凡是符合上述矩形拼接條件的,均屬簡便公式的適用范圍。

圖1 矩形拼接法

4.拓展應用

除前述例題一類的情境外,簡便公式是否有更廣闊的應用范圍呢?

4.1隨機交配并淘汰某種純合子

4.1.1淘汰aa

常規解法:求解過程見表1。

表1 例1的常規解法求解過程

觀察表1規律,歸納出答案2/(n+2),并用數學歸納法加以證明。

簡便公式法簡便公式適用于遺傳平衡群體,而本題中存在定向選擇(淘汰aa),是否仍能使用呢?從圖1乙可知,簡便公式求解的是A_中Aa的比例,是否真實淘汰aa并不影響Aa在A_中的占比。不同的是,當aa真正被淘汰后,m、n的值會發生改變,而群體將通過隨機交配達到新的平衡。因此,求解本題時,需對每一代使用一次簡便公式。但較之常規解法,它省去了表1中灰色底紋的所有計算步驟,因而更為便捷。

4.1.2淘汰AA

例2.Aa連續隨機交配,且AA完全致死,求n代后群體中Aa的比例。

從表面看,本題要求的是Aa在_a(Aa+aa)中的比例,而非在A_(AA+Aa)中的比例,似乎無法使用簡便公式。但若將A與a對調,便會發現例2與例1完全一致,也適用簡便公式,只不過例2所用的m/n指的是A基因頻率。

對比例1、例2可知,特定群體中雜合子(Aa)的比例與A、a的顯隱性無關。簡便公式不僅適用于以a基因頻率計算Aa在A_(去除aa的群體)中的比例,也適用于以A基因頻率計算Aa在_a(去除AA的群體)中的比例。

4.2基因位于性染色體上

當基因位于X染色體上時,遺傳平衡群體的矩形面積圖如圖2所示,灰色表示雌性,白色表示雄性,兩者的面積相等。Xa基因頻率在雌雄群體中無差異,均為m/n,XA亦然,均為(n-m)/n。由圖2不難看出,雌性群體的矩形面積圖(灰色)符合矩形拼接條件,故而適用簡便公式;雄性群體的矩形面積圖不符合拼接條件,不適用簡便公式。雄性群體中由于不存在雜合子Aa,也無需考慮Aa占比問題。

圖2 X染色體上基因的矩形面積圖

例3.在中國,男性群體中紅綠色盲率為7%。求一對表型正常的夫婦,生出紅綠色盲孩子的概率是多少?

解析:男性群體中紅綠色盲率為7%,說明色盲基因Xa在男性中的基因頻率=7/100。由于遺傳平衡群體中基因頻率不存在雌雄差異,故女性群體中Xa的基因頻率也是7/100。根據簡便公式,表型正常的女性人群(XAX-)中XAXa占14/107。一對表型正常的夫婦生出紅綠色盲孩子的概率=14/107×1/4=7/214。

通過上述分析可知,對于XY型性別決定的生物,簡便公式適用于雌性(XX)。同理,對于ZW型性別決定的生物,簡便公式適用于雄性(ZZ)。也就是說,若基因位于性染色體上,則簡便公式適用于擁有同型性染色體的性別群體。

4.3復等位基因

復等位基因(如決定ABO血型的IA、IB、i基因)的矩形面積圖如圖3甲所示。

圖3 復等位基因的矩形面積圖

在圖3甲的九個小矩形中,由IAIA、IAi、IAi、ii組成的圖形符合矩形拼接條件,適用簡便公式;由IBIB、IBi、IBi、ii組成的圖形同理。調換某些小矩形的位置后,還會發現由IAIA、IAIB、IAIB、IBIB組成的圖形亦然。這說明,當所研究的群體只由復等位基因中的兩種組成時,簡便公式可用。需要說明的是,此時的m/n不是該基因在所有等位基因中的比例,而是在所涉及的兩種等位基因中的比例(圖3乙,以IAIA、IAi、IAi、ii為例)。

例4.某遺傳平衡的人群中,O型血占36%,AB型血占6%。求A型血人群中雜合子的比例?

解析:遺傳平衡人群中,O型血占36%,說明i的基因頻率r=3/5,IA、IB的基因頻率之和p+q=2/5。又因為AB型血占6%,即2pq=3/50,可求出IA的基因頻率p=1/10或3/10。當p=1/10時,i占(IA+i)的6/7,根據簡便公式,A型血人群(IAIA+IAi)中雜合子IAi占(6+6)/(7+6)=12/13。當p=3/10時,i占(IA+i)的2/3(6/9),根據簡便公式,A型血人群中雜合子占4/5。

5.小結

借助矩形拼接法,可歸納出簡便公式的適用條件:①大正方形的每條邊都被分割成特定比例的兩份,說明所研究的群體(可以是總群體的一部分,如圖2、圖3)在該基因座位上只含有兩種等位基因,且基因頻率在雌雄群體中無差異。②大正方形被分成四個小矩形,說明雌雄個體間隨機交配。③在不考慮p=q的情況下,四個小矩形中的兩個是大小不等的正方形,另兩個是形狀大小完全一致的長方形,說明群體中存在三種基因型,分別是兩種純合子和一種雜合子(圖1甲、圖2灰色部分、圖3乙灰色部分)。④所求群體由雜合子和一種純合子組成(圖1乙、丙),而作為已知條件的m/n是另一種純合子所含基因的頻率。⑤簡便公式還可用于求解④群體中純合子的比例,方法是先用公式求出雜合子比例,再用1減之,無需記憶其他公式。