基于輻射能量分布函數的黑體輻射天地一致性理論推導

劉 健, 林嘉軒, 朱凌軒, 杜 君

(電磁散射重點實驗室, 上海 200438)

0 引言

飛行器紅外輻射特性是影響飛行器可探測性的重要目標特性之一。飛行器紅外輻射能量主要來源于蒙皮和發動機排氣系統,其中蒙皮輻射能量主要集中在長波波段,發動機排氣系統輻射能量主要集中在中波波段[1]。隨著長波紅外探測技術的發展,飛行器蒙皮輻射特性越來越受到關注。現階段,國內外研究人員對飛行器蒙皮輻射特性開展了大量的數值仿真和試驗測試研究。MARTINEZ等[2]開發了大型商用飛機紅外特性計算代碼,使用該代碼計算了波音747-400客機的紅外特性,重點分析了機身蒙皮的輻射特性。為驗證該代碼的正確性,COIRO 等[3]測量了波音737客機起降階段的紅外輻射特性。相比于測量客機高空巡航狀態下的輻射特性,測量起降階段的輻射特性相對容易,這也是COIRO 等測量客機起降階段的紅外輻射特性數據用于驗模的一個主要原因。然而,地面狀態畢竟不同于高空狀態,尤其是地面溫度顯著高于高空溫度,直接在地面測得的目標輻射特性必然不同于高空環境中的目標輻射特性,即存在天地一致性問題。

如果通過數值仿真等手段獲得了高空飛行狀態下的飛行器蒙皮溫度分布,再在地面狀態下通過冷卻手段模擬高空環境蒙皮的低溫分布,對低溫蒙皮輻射特性進行測量,可以獲得高空飛行狀態下的蒙皮輻射特性。這一試驗方法似乎可行,但實際存在兩點不足:一是冷卻比加熱更難,在地面高溫環境中通過冷卻手段模擬高空飛行器蒙皮較低的溫度分布難度很大;二是地面背景溫度高于目標溫度,背景輻射高于目標輻射,在強背景中測量弱目標的輻射特性,存在較大測量誤差。為解決上述問題,亟需開展地面靜態模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性的天地一致性理論研究。

現階段,鮮有文獻涉及黑體輻射的天地一致性理論研究。目前,僅本文作者在早期針對黑體積分輻射強度開展過縮比理論和地面等效模擬測試研究。LIU 等[4]從控制方程出發,理論推導得到了積分輻射強度與幾何縮比的數學關系,并進行了平板試驗驗證。WANG 等[5]推導得出了積分輻射強度和幾何縮比、溫度、波段的數學關系,并用于指導飛行器蒙皮積分輻射試驗,但研究結論沒有涉及光譜輻射強度。在流體流動和對流換熱領域,通過對控制方程組進行無量綱化處理,可以推導得出一系列無量綱系數,構建相似理論用于指導模擬試驗測試。但在輻射換熱領域,由于控制方程中存在普朗克定律這類超越函數方程,無法通過數學推導得到無量綱系數,因此輻射換熱領域不存在相似理論。

針對地面靜態模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性試驗中存在的等效一致性問題,本文從普朗克定律出發,通過引入黑體光譜輻射能量分布函數和黑體積分輻射能量分布函數,理論推導得出黑體光譜輻射強度、積分輻射強度與溫度、波長的數學關系,并進行理論自洽驗證。該數學關系的推導是為了揭示低溫、長波波段輻射強度與高溫、短波波段輻射強度之間的內在聯系,構建黑體在高空和地面不同溫度下輻射一致性的理論基礎?；谠摂祵W關系,可以通過在地面狀態下測量高溫短波波段的輻射強度,推算出目標在高空低溫狀態下長波波段的輻射強度,以實現地面靜態環境下對高空環境下飛行器蒙皮輻射特性的等效模擬測量。

1 光譜輻射強度天地一致性理論推導

高空飛行狀態下,飛行器蒙皮大部分區域溫度與環境溫度相當,由于氣動加熱和發動機熱源等因素影響,整個飛行器表面的蒙皮溫度是不均勻的。典型飛行器高空巡航狀態下蒙皮溫度分布如圖1所示。然而,若飛行器表面的蒙皮可以劃分成若干個網格,且網格劃分得足夠小的話,那么每個網格中的溫度(T1～T6)可以認為是均勻的。

圖1 典型飛行器高空巡航狀態下蒙皮溫度分布示意圖

以蒙皮上任意一個網格微元為研究對象,假設該網格微元溫度為T,發射率為1,面積為A,同時其輻射特性滿足朗伯余弦定律,則該蒙皮微元的光譜輻射強度可以由普朗克定律計算得到[6]。其表達式為

式中:Ib,T,λ為溫度為T、面積為A的黑體在波長λ上的光譜輻射強度;c1為第一輻射常數,其值為3.741 5×108W·μm4/m2;c2為第二輻射常數,其值為1.438 79×104μm·K。

將式(1)對波長λ求偏導數,并令導數等于零,可得

式中:λm為光譜輻射強度峰值對應的波長。

將λmT作為一個變量,可以采用逐次逼近的數值算法求解,得到λmT=2 898.8μm·K。將該值帶入式(1)中,可以計算得到該蒙皮微元的峰值光譜輻射強度

式中:c3為常數,其值為1.286 2×10-11W/(m2·μm·K5)。

定義黑體光譜輻射能量分布函數為溫度T的黑體在波長λ上的光譜輻射強度與峰值輻射強度的比值,即

將式(1)和式(5)帶入式(6),可以將黑體光譜輻射能量分布函數轉換為以λT為變量的函數,即

分析式(7)可以發現,黑體光譜輻射能量分布函數是關于λT的函數,只要保證波長和溫度的積不變,即可保證黑體光譜輻射能量分布函數值不變,而不需要保證波長和溫度均不變。

基于黑體光譜輻射能量分布函數這一特點,假設有兩個面積相同的黑體,黑體1的溫度為T,黑體2的溫度為黑體1的溫度的n倍,即nT。黑體1在波長λ1上的光譜輻射強度Ib,T,λ1與黑體2在波長λ2上的光譜輻射強度Ib,nT,λ2之比可表示為

式中:Ib,T,λm1表示溫度為T的黑體在波長λm1上的峰值光譜輻射強度;Ib,nT,λm2表示溫度為nT的黑體在波長λm2上的峰值光譜輻射強度。

如果保證兩個黑體的溫度和波長乘積相同,即λ1T=λ2nT,則有

那么,式(8)可以變換為

式(11)給出了波長和溫度乘積保持不變時,黑體在不同波長上的光譜輻射強度與波長、溫度的關系。該關系表明:溫度為T的黑體在波長λ上的光譜輻射強度等于溫度為nT的黑體在波長λ/n上的光譜輻射強度的(1/n)5。該數學關系構成了黑體光譜輻射強度天地一致性理論?；谠摾碚?可以通過測量地面高溫環境下的黑體短波光譜輻射強度,推算出高空低溫環境下的黑體長波光譜輻射強度。

2 積分輻射強度天地一致性理論推導

仍然以圖1中飛行器蒙皮上任意一個網格微元為研究對象,設該網格微元溫度為T,發射率為1,面積為A。該網格微元在波長λ1～λ2范圍內的積分輻射強度[7]Ib,T,λ1～λ2可以通過對光譜輻射強度在該波長范圍內積分得到,有

根據斯蒂芬-玻耳茲曼定律,對光譜輻射強度在波長0～∞范圍內積分,可以得到該微元在全波長范圍內的積分輻射強度

式中:σ=π4c1/(15c2)為斯蒂芬-玻耳茲曼常數,取值為5.669 7×10-8W/(m2·K)。

定義黑體積分輻射能量分布函數F(λT)為溫度T的黑體在波長0～λ范圍內積分輻射強度與全波長范圍內積分輻射強度的比值,即

分析式(14)可以發現,黑體積分輻射能量分布函數是關于λT的函數,只要保證波長和溫度的積不變,即可保證黑體積分輻射能量分布函數值不變,而不需要保證波長和溫度均不變。

基于黑體積分輻射能量分布函數這一特點,假設有兩個面積相同的黑體,黑體1的溫度為T,黑體2的溫度為nT。黑體1在波長λ1～λ2范圍內的積分輻射強度Ib,T,λ1～λ2與黑體2在波長λ3～λ4范圍內的積分輻射強度Ib,nT,λ3～λ4之比可表示為

如果保證兩個黑體的溫度和對應的波長范圍乘積相同,即λ1T=λ3nT、λ2T=λ4nT,則有

那么,式(15)可以變換為

式(20)給出了波長和溫度乘積保持不變時,黑體在不同波長范圍內的積分輻射強度與波長、溫度的關系。該關系表明,溫度為T的黑體在波長λ1～λ2范圍內的積分輻射強度等于溫度為nT的黑體在波長λ1/n～λ2/n范圍內的積分輻射強度的(1/n)4。該數學關系構成了黑體積分輻射強度天地一致性理論?；谠摾碚?可以通過測量地面高溫環境下的黑體短波波段的積分輻射強度,推算出高空低溫環境下的黑體長波波段的積分輻射強度。

3 理論自洽驗證

積分輻射強度是在一定波長范圍內對光譜輻射強度進行波長積分計算得到的。基于該定義,積分輻射強度和光譜輻射強度間的關系可以表示為

對式(21)等號右邊項進行離散,將波長λ1～λ2范圍均勻離散為m個窄波段,分別計算每個窄波段內的積分輻射強度,并對m個窄波段內的積分輻射強度求和,式(21)可改寫為

式中:Δλ=(λ2-λ1)/m為離散的窄波段波長寬度。

式(11)給出了在波長和溫度乘積保持不變時,黑體光譜輻射強度與波長、溫度的關系。將式(11)帶入式(22),將式(22)等號右邊項中溫度為T、波長λ1～λ2范圍內的光譜輻射強度Ib,T,λ1～λ2,轉換為溫度為nT、波長λ1/n～λ2/n范圍內的光譜輻射強度Ib,nT,λ1/n～λ2/n,可以得到

上述理論自洽驗證過程從積分輻射強度和光譜輻射強度的物理定義出發,通過引入黑體光譜輻射強度與溫度、波長的數學關系,即式(11),數學推導得出黑體積分輻射強度與溫度、波長的數學關系,即式(20),從理論自洽角度驗證了黑體輻射天地一致性理論的正確性。

4 結論

本文在數學上構建了黑體光譜輻射能量分布函數和黑體積分輻射能量分布函數,并將其引入黑體輻射天地一致性問題研究中,推導得出了黑體輻射強度與溫度、波長的數學關系。在理論上,基于黑體輻射強度與溫度、波長的數學關系,構建了黑體在高空和地面不同溫度下的輻射強度一致性理論。在方法上,基于黑體輻射天地一致性理論,提出了地面靜態模擬測量高空低溫飛行器蒙皮輻射特性的試驗方法。

本文通過引入光譜輻射能量分布函數和積分輻射能量分布函數,理論推導得出了黑體輻射能量與溫度、波長的關系,并進行理論自洽驗證。提出了在地面狀態下測量高空飛行器低溫蒙皮輻射特性的天地一致性理論,得到如下研究結論:

a) 溫度為T的黑體在波長λ上的光譜輻射強度等于溫度為nT的黑體在波長λ/n上的光譜輻射強度的(1/n)5;

b) 溫度為T的黑體在波長λ1～λ2范圍內的積分輻射強度等于溫度為nT的黑體在波長λ1/n～λ2/n范圍內積分輻射強度的(1/n)4;

c) 基于黑體輻射天地一致性理論,可以通過測量地面高溫環境下黑體的短波輻射特性,根據數學關系推算出高空低溫環境下黑體的長波輻射特性。