生日悖論

前陣子我給政府部門打了個電話，工作人員需要我提供出生日期，以便驗證我的身份。我說完我的生日后，她很開心地告訴我，她的生日和我在同一天：“這是多罕見的巧合??！”

但真的是這樣嗎？生日在同一天的情況真的罕見嗎？

數學上的概率計算顯示，在隨機選擇的23個人中，有兩個人在同月同日出生的概率就能達到50%。

很多人都會覺得這個結論特別不可思議。一年有365天，如果是閏年的話還要多1天，怎么可能這么少的人數就能讓“有兩個人的生日在同一天”的可能性達到50%呢？數學家理查德·馮·米澤斯把這種現象稱為“生日悖論”。

讓我們來思考一下，為什么這么少的人數就足夠使概率達到50%呢？顯而易見，直覺讓我們把這個問題和另一個問題弄混了：“最少需要多少人，才能保證有1個人在特定的一天（比如在我的生日那天）也過生日的概率達到50%？”

實際上，上述這個問題的正確答案是：要比23個人多得多——至少需要253個人。這是因為，通過計算可以發現，23個人能組成253個生日比較組（任意兩個人的生日都可組成一組）。計算方法為：若將23個人從1到23編號，1號可以與2號至23號中的每一個人比較，因此，1號可以組成22個比較組。與此同理，2號可以與3號至23號中的每一個人比較（2號與1號的比較組已經計算過了），2號可以組成21個比較組。以此類推，最終有22+21+20+……+2+1=（22+1）×22/2個比較組即23×22/2=253個比較組。也就是說，與特定的生日（比如我的生日）進行比較時，同樣需要253個生日比較組才能使“生日與我在同一天的概率”達到50%。當“我”是確定的時候，只需要隨機找253個人，就能形成和“我”的生日進行比較的253個比較組了。

換一種表達方式，在開場陣容為23人（兩支球隊各11人，裁判1人）的足球比賽中，兩個人在同一天過生日的概率達到50%。

（常鑫摘自浙江教育出版社《5分鐘怪誕數學：那些看似不可能的生活真相》一書，視覺中國供圖）