大單元主題教學結構化實踐研究之“整合主題—結構重建課”

陶哲 郭峰

摘 ?要：以“直線與橢圓的位置關系”為載體，在大單元主題教學結構下，針對“整合主題—結構重建課”進行了教學實踐. 從教學準備、教學實施、教學評價三個方面，探索如何精準定位復習課的成長點，設計具有挑戰性的活動來優化和完善知識結構，落實模式識別和程序操作，激發學生的高階思維，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：整合主題；結構重建；直線與橢圓

隨著新課程標準、新教材、新高考的逐步推進，通過教學改進提升學生的數學核心素養已然成為業界共識. 在傳統教學的復習課中，教師往往面臨著一種尷尬的處境：學生課后仍然是“會的還會，不會的還不會”. 為了打破這種僵局，北京市朝陽外國語學校高中數學組以“主題”和“結構”為特色，將傳統的復習課演變為“整合主題—結構重建課”，并構建了相應的“三段六環”教學模式，如圖1所示.

在整合主題單元的課時教學的過程中，“三段”指“兩個針對、三位一體、鞏固拓展”三個時段，而“六環”則是鑲嵌在三個時段中落實單元主題教學的相關要素.

“兩個針對”就是“針對課程標準與高考試題”“針對學情找共性與個性”. 課程標準告訴我們學業內容和學業要求，而高考試題告訴我們高考考查的方向和方式；學情告訴我們本班學生對上述內容的掌握程度，課堂上只針對班級共性問題設計集中講解，個性問題則可以通過個別答疑輔導處理.“兩個針對”可以確保教學設計是對路、到位的.

“三位一體”包含三個環節：結構與系統，策略與方法，整合與創新. 結構與系統主要針對學生課前繪制的思維導圖進行主題結構體系的優化與完善. 策略與方法主要針對主題基本問題的模式識別與程序落地. 整合與創新主要針對主題內容設計有層次的挑戰性問題，激活學生的高階思維，提升學生的數學核心素養.

“鞏固拓展”就是圍繞本課時的教學內容設計一些能體現選擇性、挑戰性及“教—學—評”一致性的隨堂練習和課后作業，對本課時的學習效果進行診斷與反饋，同時為下一課時的教學設計做好鋪墊.

本文將以“直線與橢圓的位置關系”為例，對“整合主題—結構重建課”這種大單元主題教學結構進行說明.

一、教學準備

1. 課程標準與高考試題

（1）課程標準的要求.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，學生在平面解析幾何單元能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題.

（2）高考試題分析.

近年來，涉及“直線與橢圓的位置關系”的高考試題（北京卷）分布如下：2018年理科第19題的定值問題；2018年文科第20題的弦長、求參數取值；2019年理科第18題的定點問題；2019年文科第19題的定點問題；2020年第20題的求值問題；2021年第20題的求參數取值范圍；2022年第19題的求參數取值；2023年第19題證明直線平行.

在考查直線和圓錐曲線的相關問題時，近三年的高考試題全部用到了根與系數的關系尋找兩個交點的聯系. 其中，定點、定值問題是重點考查內容，突出考查了幾何分析、代數證明、等價轉化、函數與方程等數學思想和方法，要求學生通過分析問題引入變量（代數）來刻畫運動變化（幾何），并通過代數運算來證明運動變化中的不變量或不變關系，解決問題的過程對學生數學運算素養的要求較高，是區分度很高的題目.

2. 學情分析

在課前，我們選擇了如下前測題目. 該題目從三個方面來反饋學情：首先，需要對幾何條件進行等價轉化；其次，需要引入變量刻畫動直線和相關量；最后，通過代數運算來判定是否存在符合條件的定點.

題目 ?已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1][a>b>0]的一個焦點為[F3，0]，且該橢圓經過點[P3， 12]．

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）過點[F]作直線[l]與橢圓[C]交于不同的兩點[A]，[B]，試問在[x]軸上是否存在定點[Q]，使得直線[QA]與直線[QB]關于[x]軸對稱？若存在，求出點[Q]的坐標；若不存在，說明理由．

通過分析學生的作答情況，我們發現學生的表現與日常教學反饋結果和教學經驗相符，學生在解決直線與圓錐曲線位置關系的相關問題時存在兩大困難. 首先，學生在用坐標法表示相關幾何要素的過程中存在困難. 具體地，有約三分之一的學生無法將“兩條直線關于[x]軸對稱”的幾何表述準確轉化為“兩條直線的斜率互為相反數”的數量關系，即轉化困難. 其次，學生在運算過程中存在困難. 具體地，能將幾何關系代數化的學生中，又有一半的學生無法通過坐標運算求出點[Q]的坐標，即運算困難.

二、教學實施

1. 結構與系統

本環節通過回顧梳理，厘清知識間的邏輯關系，師生共同從單元知識的完備性、各模塊的關聯性、模塊內知識的邏輯性、應用單元知識解決的典型問題、知識結構圖的觀賞性等維度自主建構有機的知識體系. 這個環節有利于學生從整體上把握整章的知識結構，也有利于促進學生對每一個細微知識點的理解.

活動課前，學生已經繪制了本章的知識結構圖，教師讓幾名學生對自己的結構圖進行展示和說明. 針對這幾名學生的知識結構圖，讓其他學生進行評價和補充，然后師生共同完善知識結構圖如圖2所示.

【設計意圖】在學完本章全部知識后，學生對于本章知識的理解存在較大差異，主要體現在：對個別知識要素的認知水平存在差異，對整體知識結構框架存在差異，對知識與知識之間的聯系存在差異. 通過展示知識結構圖、生生互評，優化和完善知識結構圖，形成網絡式的認知結構，有助于信息的記憶和提取；同時突出本單元重點，即解析幾何研究的基本方法，無論是研究曲線的性質還是研究平面幾何元素間的位置關系和度量大小的過程，都是解析幾何五步曲，如圖3所示.

問題1：如何判定直線與圓錐曲線的位置關系？

預設：（1）代數法：聯立圓錐曲線方程[C]與直線方程[l]，代入消元消去[y]，整理得到方程[ax2+bx+c=0].

若[a=0]，[b=0]，則方程[ax2+bx+c=0]無實根，[l]與[C]無公共點.（[l]是雙曲線的漸近線.）

若[a=0]，[b≠0]，則方程[ax2+bx+c=0]有一個實根，[l]與[C]有一個公共點.（[l]與拋物線的對稱軸平行、重合，或[l]與雙曲線的漸近線平行.）

若[a≠0]，[Δ>0]，則方程[ax2+bx+c=0]有兩個不等實根，[l]與[C]有兩個公共點.

若[a≠0]，[Δ=0]，則方程[ax2+bx+c=0]有兩個相等實根，[l]與[C]有一個公共點.

若[a≠0]，[Δ<0]，則方程[ax2+bx+c=0]無實根，[l]與[C]無公共點.

（2）幾何法：在平面直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線，利用圓錐曲線和直線的性質來判定它們的位置關系.

追問：在用代數法得到關于x的方程后，需要注意什么？

預設：因為方程的類型和根的個數由方程的參數決定，所以要注意分類討論.

【設計意圖】聯立直線方程與圓錐曲線方程，組成的方程組的根是直線與圓錐曲線的公共點的橫坐標，因此可以根據方程組的根的個數判定直線與圓錐曲線的位置關系. 這是用坐標法研究解析幾何問題的重要思想方法，但在研究方程組解的個數的過程中，要注意各參數對方程的影響，即對直線與圓錐曲線位置關系的影響，引導學生體會數形結合思想，提升直觀想象和邏輯推理素養.

問題2：在直線與圓錐曲線的位置關系的探索過程中，我們特別研究過哪一類問題？

預設：與弦長有關的問題，定點、定長問題，最值問題，存在性問題，等等.

追問1：你認為研究這些問題的基本思路是什么？

預設：明確幾何問題—用坐標表示幾何要素—利用代數運算求解—回歸幾何得出結論.

追問2：你自己在解決上述問題中遇到的最大困難是什么？

預設：用坐標表示幾何要素存在困難，利用代數運算求解存在計算錯誤，等等.

【設計意圖】通過問題2及追問，使學生經歷“明確問題”“確定方法”“發現難點”三個環節，在這一環節中發現自身的優勢和不足，并在后續學習過程中加以注意和提升.

2. 策略與方法

本環節對單元的核心主題進行題組的設置和編排，題目與題目之間、題組與題組之間都應該由易到難、由單一到綜合逐步展開，從而循序漸進地促使學生鞏固本單元的基礎知識、基本方法及其程序，有利于揭示證明或求解某類問題的一般規律，引導學生體會數學學科解決問題的一般思路，提高學生分析和解決問題的能力.

主題1：直線與圓錐曲線的位置關系.

例1 ?在平面直角坐標系[xOy]中，已知橢圓[C1： x2a2+][y2b2=1 a>b>0]的左焦點為[F1-1，0]，且點[P10，1]在[C1]上．

（1）求橢圓[C1]的方程；

（2）設直線[l]同時與橢圓[C1]和拋物線[C2：y2=4x]相切，求直線[l]的方程．

【設計意圖】通過例1，讓學生體會判定直線與圓錐曲線的位置關系的問題本質上是研究方程組解的個數問題．

主題2：定量問題的求解策略.

例2 ?如圖4，已知拋物線[C：x2=4y]，過點[M0，2]任作一條直線與[C]相交于[A，B]兩點，過點[B]作[y]軸的平行線與直線[AO]相交于點[D]（[O]為坐標原點）．

（1）證明：動點[D]在定直線上；

（2）作[C]的任意一條切線[l]（不含[x]軸），與直線[y=2]相交于點[N1]，與（1）中的定直線相交于點[N2]，證明：[MN2 2-MN1 2]為定值，并求此定值．

【設計意圖】通過例2，學生總結圓錐曲線中定值問題的特點及兩種解法. 特點：特征幾何量不受動點或動直線的影響，從而有固定的值．兩種解法：從特例入手求出定值，再證明所求量為該定值；引入變量法，其解題流程如圖5所示.

[變量][選擇適當的動點坐標或動直線系數作為變量] [函數][把要證明為定值的量表示成上述變量的函數] [定值][把得到的函數化簡，消去變量得到定值] [圖5 ?解題流程]

3. 整合與創新

本環節既是對“策略與方法”環節中研究題型的拓展與延伸，又是對解題過程的反思、總結與遷移. 對于同一個問題，通過從不同角度考慮，運用不同的方法和知識解決問題，有助于模型的識別，以及在解決問題的過程中建立數學知識間的聯系，形成整體性認知. 同時，通過對不同的方法進行分析、比較和整合，有利于促使學生體會學科的本質，促進學生對知識和方法的靈活應用，進而培養學生分析和解決問題的能力及優化解題思路的意識.

例3 ?已知橢圓[E]的長軸的一個端點是拋物線[y2=45x]的焦點，離心率是[63].

（1）求橢圓[E]的方程；

（2）過點[C-1，0]的動直線與橢圓相交于[A，B]兩點.

① 若線段[AB]中點的橫坐標是[-12]，求直線[AB]的方程；

② 在[x]軸上是否存在點M，使[MA ? MB]為常數？若存在，求出點[M]的坐標；若不存在，說明理由．

【設計意圖】通過例3，找到存在性問題的解答策略：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在. 同時，通過探究多種可能的解題思路，在生生、師生、生本的交流中對不同的方法進行分析、比較和評價. 積累從多角度探索不同思路的經驗，明確每種思路的運算方向，體會不同思路對應的計算量的區別，有意識地優化解題思路，提升學生的數學運算素養.

三、診斷反饋

本環節既是對教學目標是否有效達成的反饋，也是對學情分析中體現出來的難點的檢測. 其中，我們仍然重點關注兩個問題：一是幾何問題到代數問題的轉化是否正確，二是運算準確性是否有所提升. 另外，通過完善知識結構圖進一步完整地構建本單元知識體系，進一步提升學生解決綜合問題的能力. 相應作業安排如下.

作業1：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1a>b>0]過點[P2，1]，且該橢圓的一個短軸端點與兩焦點[F1]，[F2]為等腰直角三角形的三個頂點.

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）設直線[l]不經過點[P]且與橢圓[C]相交于[A]，[B]兩點. 若直線[PA]與直線[PB]的斜率之積為1，證明直線[l]過定點.

作業2：完善課前的知識結構圖，尤其注意結合自身優勢和不足進行設計.

參考文獻：

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