像波利亞那樣教解題

摘要：波利亞的名著《怎樣解題》首先給出一個“怎樣解題表”，將解題過程分成理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧4個步驟，后續結合大量案例對“怎樣解題表”做詳細解析，希望通過一些通用的策略教會學生解題。閱讀《怎樣解題》，應注意體會波利亞各個建議的深刻內涵，結合具體案例進行對比和實踐，總結提煉波利亞的解題策略。像波利亞那樣教解題，要通過“給機會”“教方法”“壓任務”“重評價”等措施切實提升學生的解題能力。

關鍵詞：波利亞；《怎樣解題》；解題教學

一、 ?《怎樣解題》的基本內容

波利亞是美籍匈牙利裔著名數學家、數學教育家，在函數論、變分學、概率論、數論、組合數學等數學領域都有創造性貢獻，先后當選美國國家科學院、匈牙利科學院、法蘭西科學院等的院士。他還長期從事數學教學研究，注重對數學思維一般規律的探析，先后出版《怎樣解題》《數學的發現》《數學與猜想》等名著。這些著作被譯成多種文字，廣為流傳，深刻地影響著全球的數學教育。為了表彰波利亞的特殊貢獻，1963年，美國數學協會授予他數學杰出貢獻獎；1968年，在美國教育影片圖書館協會舉辦的第10屆電影節上，主辦方因為用他的講演制作的影片《讓我們教猜想》而授予他藍綬最高獎。為了紀念波利亞，美國工業與應用數學學會設立了波利亞獎，美國數學協會設立了波利亞寫作獎，美國數學教師委員會設立了數學競賽的波利亞獎。［1］

《怎樣解題》出版于1944年，全書首先給出一個“怎樣解題表”，后續結合大量案例對“怎樣解題表”做詳細解析。

波利亞將解題過程分成4個步驟：理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧。［2］這4個步驟看上去并無新奇之處，但波利亞正是希望通過這些通用的策略教會學生解題。下面簡單介紹波利亞“怎樣解題表”的4個步驟（引用文字全部出自“怎樣解題表”）。

理解題目。理解題目是建立聯系、獲取解題方案的前提。波利亞給出了很多具體的建議，比如：以“未知量是什么？”引導解題者明確題目的目標；以“已知數據是什么？條件是什么？”引導解題者確認題目中的已知條件；以“條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？”引導解題者審視題目本身的正確性；以“畫一張圖，引入適當的符號。將條件的不同部分分開，你能將它們寫出來嗎？”引導解題者更好地表示題意。

擬訂方案。擬訂方案就是根據自己對問題的理解，逐步找出條件和結論之間的聯系，最終導出探求結論的流程的過程。毫無疑問，探求解題方案需要基于對相關的數學概念、原理、規則的掌握以及以往的解題經驗。為此，擬訂方案的第一步就是明晰問題中的各個數學概念、相關原理和規則，調用已有的解題經驗。前者實際上在理解題意階段就已經開始，而后者則是問題解決中一個十分重要的環節。因此，波利亞提出了很多調用已有解題經驗的策略。比如：“你以前見過它嗎？你知道一道與它有關的題目嗎？”困難是，以前學習過太多的題目，如何從中篩選出有用的題目、有用的經驗呢？這時，“觀察未知數！盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目”不失為一個很好的建議。如果你幸運地想到了類似問題，這是再好不過的了。實在想不到，“這里有一個與你的題目有關而且以前解過的題目，你能利用它嗎？”也不失為對學生必要的幫助。調用解題經驗是獲得計劃的一個前提條件，其目的當然是借用這些經驗解決現行的問題。那么，如何借助過去的經驗解決現行的問題呢？可能有很多通道，最為常見的就是將現行問題轉化為過去已經學習、研究過的問題，這就是轉化歸結，即化歸（“你能重新敘述這道題目嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？”）。化歸是將問題轉化為一個等價的問題，但這一策略并非處處可行，因此，解決問題時，可能還會從一個與它相關但不等價的問題的解決過程中尋求思路或者結論。例如，一般化和特殊化（“你能否想到一道更容易著手的相關題目？一道更為特殊化的題目？一道類似的題目？”）、將問題分解和重組（“你能解出這道題目的一部分嗎？”“只保留條件的一部分，而丟掉其他部分，那么未知量可以確定到什么程度，它能怎樣變化？”“你能從已知量中得出一些有用的東西嗎？”“你能想到其他合適的已知量來確定未知量嗎？”“你能改變未知量或已知數據，或者有必要的話，把兩者都改變，從而使新的未知量和已知數據彼此更接近嗎？”）等。有時沉醉于聯系、類比中，可能將我們拉離主題，離題過遠，這時注意回到原問題，可以提醒：“你用到全部的條件了嗎？你把題目中的所有關鍵的概念都考慮到了嗎？”

執行方案。如果把擬訂方案比作建筑藍圖，那么，執行方案就是建筑施工。與擬訂方案相比，執行方案不是難事，只需要將經過探索、設計而成的解題方案進行邏輯整理，運用已經掌握的數學運算、推理、作圖等技能熟練、清晰地表達解題過程。這時需要的是耐心和細心。為此，波利亞提出建議：“實現你的解題方案，檢驗每一個步驟。”“你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎？”“你能否證明它是正確的？”

回顧。對解題過程、結果、方法理性地回顧與反思，可以有效提升解題經驗、歸納解題規律，最終獲得策略性的知識，因而，是將解題技能升華為解題能力的重要環節，不可或缺。具體地，通過“你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？”回顧結論，使結論更可靠、精致，深化對結論的理解；通過“你能以不同的方式推導這個結果嗎？”反思方法、比較方法、優化解法；通過“你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？”反思結論的運用，產生各種變式問題。

二、 《怎樣解題》的閱讀啟示

波利亞的“怎樣解題表”，絕不僅僅是告訴我們解題的步驟與方法，更是指導學生解題的典范。從其字里行間，我們不難獲得下面的啟示：

第一，解題教學的目的并非解題本身，而是希望在解題中，積累學生的解題經驗，提升學生的解題能力，發展學生的“四能”：發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。在波利亞式的解題過程中，理解題目、擬訂方案、執行方案的環節，需要經歷分析問題、解決問題的全過程，同時也需要不時進行問題之間的轉化，嘗試提出相同的、相近的問題；回顧環節，除了反思問題的結論與方法，以獲得更為深刻的理解之外，也關注方法的遷移運用，關注問題的變化、發展。因此，這個過程也是基于已有問題提出新的問題的過程，將解題過程引向“問題—解決—新問題—新解決”的循環，是發展學生發現問題、提出問題能力的好機會。

第二，學生解題能力的提升，固然離不開自身的解題實踐，也同樣需要教師適當的幫助與指導。在教師適時的幫助與指導中，學生更容易獲得問題解決的成功和喜悅，激發問題解決和數學學習的激情；在教師適度的幫助與指導中，學生可以更好地感悟問題解決的常用策略，形成更加深刻的解題經驗。

第三，教師的幫助應是適時適度的、自然而不露痕跡的。學生自主解決問題更容易獲得成就感，因此，教師對學生的幫助不要過于主動，首先要給學生自主解決問題的機會，在學生遇到困難時再適時地幫一把。對此，波利亞指出：教師應當謹慎地、不露痕跡地幫助學生，順乎自然地幫助學生，使學生有獨立工作的感覺。如何做到這一點呢？需要教師習慣于站在學生的角度，努力了解學生心里正在想什么，然后根據學生的思考與困惑提出相應的問題或建議。這樣的問題或建議正是學生自己原本應當想到而沒想到的，只是這時教師更清晰地提出來并給予了畫龍點睛式的指點而已。這樣的幫助就是自然而不露痕跡的。這樣的問題解決過程是在師生交流中完成的，但學生感覺幾乎是自己獨立完成的，可以增強學生的自信心。

第四，教師的幫助應是普適的。［3］學生解題的目的并非解決這道題本身，而是希望習得解決問題的常用策略，進而遷移運用于其他問題的解決，提升自身的解題能力。因此，教師的建議不能過于具體，僅僅指向這道題的解決，而應具有普遍性，也適用于其他問題的解決。這樣，學生才容易獲得解決問題的一般策略。比如，在理解題意階段，教師的幫助應指向題目信息的多元表征、內隱信息的捕捉等；在擬訂方案階段，教師的幫助應指向固有經驗的調用、問題變換的策略等；在解后反思階段，教師的幫助應指向反思的內容、策略和習慣的養成。

例如：如下頁圖1，正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上，且∠FDE＝45，求證：EF＝AF＋CE。對此，在學生自主探究有一定困難的情況下，可以提示：要證明的結論“EF＝AF＋CE”是“一個量等于兩個量的和”的形式，在這方面你有哪些經驗？引導學生回顧學習經驗，力圖自主探析方法。這樣的引導就是普適的，對學生未來學習是長期有效的。當然，如果這些普適的幫助還不能真正有效地助力學生解決問題，可以再追加更為具體的幫助。例如：能否將EF分解成兩個短的線段，使得它們分別等于AF和CE，或者將兩個短的線段AF、CE合并到一起，證明它等于EF？

第五，波利亞尤其強調解題后的回顧與反思。回顧與反思本身不是目的，主要在于養成反思的習慣，增進學生對問題的理解，提升學生的解題經驗和解題能力。通過長期的訓練，學生必將獲得反思的方法，從而形成反思的策略性知識。當然，教師需要思考的是：自身是否養成了回顧與反思的習慣？有沒有向學生介紹回顧與反思的方法？現在的學生有沒有從事這樣的回顧與反思活動的時間？如果沒有，問題何在？

三、 《怎樣解題》的閱讀建議

《怎樣解題》是一本數學教師百讀不厭的名著。因此，建議大家多次閱讀，常讀常新。各人閱讀習慣不一，難有統一的模式。這里，僅提供筆者的幾點思考，與大家分享。

（一）注意體會波利亞各個建議的深刻內涵

波利亞給予的建議，尤其需要教師注意深入體會，習慣仔細揣摩其蘊含的深刻含義。例如，《怎樣解題》第一章“在教室里”選取了一個例子：已知長方體的長寬高，求它的對角線長度。在這個問題的回顧環節，波利亞提出了很多反思性問題，其中兩個問題是：“如果長方體的三個量度a、b、c都等比例地增長，那么，對角線也將以與此相同的比例增長。假如在你的公式中分別以12a、12b、12c來代替a、b、c，對角線的表達式相應地也應乘以12。是不是這樣？”“如果a、b、c以英尺為計量單位，那么，你的公式給出的對角線計量的單位也應是英尺，但是如果你把所有量的單位都改為英寸，公式仍應成立。是這樣嗎？”［4］并進一步指出這兩個問題實質上是一樣的，且在第三章“探索法小詞典”中給出了一個條目“量綱檢驗”［5］。波利亞給出這些反思性問題的目的是建議教師引導學生從量綱分析的角度對結果進行檢驗。量綱分析在物理等實驗科學中較為常見。很多數學教師認為，數學中的運算對象基本上都是現實的抽象物，最終抽象得到的數已經沒有單位了。因此，他們不太習慣量綱分析，甚至不太認同量綱分析。實際上，這種觀點是錯誤的。閱讀時，注意細細體會波利亞提出的這些建議或反思性問題的意義，可以切實提升自己對問題解決的理解。

（二）注意結合具體案例進行對比和實踐

《怎樣解題》中已經提供了不少案例。首次閱讀時，可以通讀文本，借助案例領悟觀點。但是，有了一定的教學經驗之后，建議領悟波利亞解題指導的精髓，在“自主解題、嘗試指導、對比提升、實踐校驗”的多次循環中形成貼合實際的學習指導風格：首先，自主求解問題，在求解后反思問題求解的關鍵，思考問題求解可以積淀的解題經驗；接著，想象相應年齡段學生的知識水平和認知經驗，像波利亞一樣，嘗試給出與學生交流的指導語，預設學生的不同回應，并基于預設的學生不同回應，給出進一步的建議，從而形成預設的個性化教學指導方案；然后，學習《怎樣解題》中提供的學習指導，分析兩者的差異，思考哪些是兩者共通的，哪些又是個性化的，這些個性化的指導語價值何在，對自己的教學有什么啟示；最后，在可能的情況下，嘗試與學生現場交流，從中感悟具體指導語的適切性，現場生成更加貼合的指導語，最終形成貼合自身和學生現狀的指導方式。

（三）注意總結提煉波利亞的解題策略

《怎樣解題》形散而神不散，但與大家日常看到的綱目結構清晰的學術論文和專著有所區別。它條目眾多，特別是第三章“探索法小詞典”，從目錄看，包含幾十個小標題，容易給初讀者“片段化”的觀感。因此，更需要養成邊閱讀邊總結提煉的習慣。在閱讀中，建議常常思考：這些常識性的建議是否具有層次？能否形成自己的層次架構？實際上，波利亞的文本是有層次的，文本中字體就有所差異，閱讀時要注意細加體會。但這也只是波利亞的認識，善于思考的我們可以結合自己的思考與感悟形成適合自己的層級架構。畢竟我們是學習波利亞，而不是成為那個唯一的波利亞。每個人都要在學習波利亞的過程中形成自己解決問題的模式和指導學生的方式，而這離不開自己的理解、感悟與提煉。

比如，對“擬訂計劃”這一步，波利亞提出了很多建議，但作為讀者，需要對有關建議進行歸類，形成自己相對簡略的策略體系。對此，筆者便根據自己的理解將有關策略分成如圖2所示的幾個視角。

四、 像波利亞那樣教解題

解題教學的目的是幫助學生積累解題經驗，發展學生的解題能力。因此，教學實踐中，要通過“給機會”“教方法”“壓任務”“重評價”等措施切實提升學生的解題能力。

（一） 給機會

學生解決問題能力的提升，源頭在于自身解決問題經驗的積累。因此，教學中，應為學生提供充足的自主解決問題的機會。這里，需要說明兩點：一是給學生提供更多具有挑戰性的問題，而不僅僅是匹配新知學習的模仿性習題。匹配新知的模仿性習題，所用知識清晰，解決的難度小，更多的是對原有例題的模仿，對提升學生問題解決能力的作用很小。切實有效提升學生問題解決能力的問題，與學生原有的認知經驗有一定的差距，既需要充分調用原有的類似經驗，還需要實現經驗之間的轉化、問題的變化等，因而具有一定的挑戰性。波利亞在《怎樣解題》中給出的題目，多是真正的問題，大家可以仔細體會。二是放手讓學生自主解決，在學生有困難的時候再施以援手，提供適切的幫助。

（二） 教方法

通過親歷解決問題的過程，學生會自主積累一定的解題經驗，但對多數學生而言，主動整理、提升解題經驗的意識欠缺，理解解決問題過程和方法的水平也有待提高。對此，教師需要適時外化、介紹問題解決各環節中常見的策略和方法，并巧妙、靈活地將這些策略和方法傳遞給學生，使之在遷移運用中熟練掌握這些策略和方法。例如，在問題解決之后的回顧反思環節，教師不僅要善于引導學生對原有問題進行反思，在反思中理解問題的本質，生發一系列變式，讓學生感悟到反思與變式的意義，明了“為什么變”；還要適當外顯反思與變式的方法，讓學生知道“如何變”。只有這樣，才能為學生奠定“我要變”“我能變”的基礎。具體地，教師可以在問題的各個變式之間增加過渡性語言，明晰各個變式之間的關系，揭示出變式方法；通過各種方式凸顯這樣的變式方法，如借助板書或PPT，通過圖形、色彩等手段展示題目之間的關系和變式方法；適時專門開展變式方法的教學示范課，幫助學生明晰條件變式、結論延展、逆向思考、背景遷移、對象拓廣、類比泛化等常用變式方法。

（三） 壓任務

通過“給機會”，學生經歷了問題解決的過程；通過“教方法”，學生理解了問題解決各環節的策略和方法。但是，切實掌握相關的策略和方法，還離不開自身的實踐。因此，針對具體的策略和方法，要壓實任務：提供具體的任務，在具體任務中考查學生策略和方法的掌握情況，將策略和方法本身作為學生學習的對象。例如，促進學生回顧解題過程、積累解題經驗時，可以引導學生進行專門的“說題”活動，要求學生說明自己自主解決這道題的過程、過程中遇到的困難和解決的方法、解決過程中獲得的啟示與收獲等。再如，對解后反思中的變式，在明晰了變式方法的基礎上，可以提出明確的變式任務，將變式本身作為重要的學習任務，讓學生在多次變式任務中逐步養成變式的習慣。具體地，在總結了有關變式方法的基礎上，布置作業，要求學生在解決某一個問題的基礎上，給出若干變式并說明變式的方法；基于學生作業狀況，逐步提高變式的要求，包括數量要求、視角要求等。筆者曾對高中教師做了一個學生反思和變題能力的調查，結果表明：“影響學生反思和變題實際水平的最重要的兩個變量是告訴反思（變題）方法和檢查反思（變題）作業。”［6］這個調查結果再次表明“教方法”“壓任務”的重要性。

（四） 重評價

評價是教學的“指揮棒”，每一項任務的達成都離不開評價的“撬動”和“促動”。因此，問題解決的教學中，要充分運用好評價手段，嘗試將上述任務納為單元測試、期中考試、期末考試等的內容，通過考試壓力的傳導，督促學生“主動”完成上述任務，在任務完成中提升學力。波利亞在說明學生解后反思的現狀時指出：“即便是相當優秀的學生，在得到了題目的解答，并將整個論證簡潔地寫下來以后，就會合上書，去找別的事做。”［7］這樣的現象，在問題解決其他環節策略的學習中同樣普遍存在。因此，這類策略的學習需要教師外在的引導和具體任務的“壓迫”，而評價無疑是很好的手段。

參考文獻：

［1］ 吳文俊.世界著名數學家傳記［M］.北京：科學出版社，2003：14071419.

［2］［4］［5］［7］ G.波利亞．怎樣解題——數學教學法的新面貌［M］．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2002：前言ixxi，17，204，15.

［3］ 章飛．數學教學設計的理論與實踐［M］．南京：南京大學出版社，2009：179.

［6］ 江守福，章飛．高中數學教師對學生解后反思與變式影響的調查研究［J］．數學通報，2020（9）：2732.

（章飛，江蘇第二師范學院科研處處長，課程與教學研究所所長，教授。北師大版初中數學教材副主編。主要研究方向：數學課程與教學論、教師教育、現代信息技術與學科課程整合等。）