四階變系數Schr?dinger方程的適定性與正則性

白忠玉

(海口經濟學院 網絡學院, 海口 571127)

常系數Schr?dinger方程的適定正則性和能控性已有許多研究結果[1-3]。對于變系數Schr?dinger方程,驗證其適定正則性一直是一個困難的問題,要根據不同的方程形式采用不同的工具,過去的做法是把控制問題轉化為不可驗證的假設。十幾年前引入的微分幾何估計,是解決變系數Schr?dinger方程控制問題的一個有力工具,從此在變系數Schr?dinger方程的適定正則性及可控性方面取得了許多進展[4-7]。

為了給出要研究的方程,下面先定義幾個算子。

令A(x)=[aij(x)]n×n是定義在Ω上的實對稱矩陣,且對常數a,b>0,滿足

(1)

P是一個二階偏微分算子:

(2)

(3)

且

ν

(4)

其中ν=(ν1,ν2,…,νn)為?Ω上指向Ω外部的單位外法向量。

A是L2(Ω)中的正定自共軛算子,定義為:

(5)

考慮如下變系數Schr?dinger方程:

(6)

其中Ω?Rn(n≥2)是開的有界區域,具有C3光滑邊界,?Ω=Γ,u是邊界控制,y是邊界觀測,算子P、、A分別由式(2)、(3)和(5)定義。

文獻[5]證明了Schr?dinger方程在Neumann邊界控制下的適定性,而沒有給出系統的正則性。目的是研究Dirichlet邊界控制和同位觀測的Schr?dinger方程(6)的適定性與正則性,把文獻[5]中研究適定性的方法推廣到Dirichlet邊界上,得出系統(6)的適定性,然后利用適定性結果,證明了系統(6)是正則的。

1 預備知識

令G(x)是正定矩陣,ρ(x)是其行列式,

ρ(x)=detG(x), ?x∈Rn

(7)

則(Rn,g)成為帶有度量g的Riemann流形[8]。

由式(1)、(4)和(7),得

(8)

其中DXN表示向量場N關于X的協變導數。

其中: div0是歐式空間Rn上的散度算子,▽g、divg和Δg分別為流形(Rn,g)上的梯度算子、散度算子和Beltrami-Laplace算子。

下面給出一個乘子等式。

現在將系統(6)化為在狀態空間H=H-2(Ω)中的一階抽象系統。

于是系統(6)能被改寫為:

(9)

等同H和它的對偶H′,則有下列Gelfand三嵌入:

(10)

(11)

(12)

(13)

于是系統(6)化為一個在狀態空間H中的一階抽象系統:

(14)

2 主要結果

第一個結果是系統(6)的適定性,是文獻[5]中定理1.1的推廣,表明系統(6)在狀態空間H和輸入輸出空間U=Y中是適定的[14]。

定理1對?T>0,u∈L2(0,T;U),系統(6)存在滿足初值條件w(·,0)=w0∈H的唯一解w∈C(0,T;H)和不依賴于(w0,u)的常數CT>0,使得為證明定理1,需要下面的引理2。

引理2[15]若?T>0,CT>0,使得當初值為零時,系統(6)的輸入輸出滿足

則系統(6)是適定的。

(15)

因此,定理1成立當且僅當對某一(從而對所有)T>0,存在常數CT>0,使得方程(15)的解滿足

(16)

定理1的證明下面將分4步證明式(16)成立。

(17)

計算式(17)左邊的第一項,有

(18)

由引理1,有

(19)

把式(19)代入式(18)中,得

(20)

計算(17)左邊的第二項,得

(21)

由式(17)、(20)和(21),得

(22)

其中

C(0,T;H-2(Ω)×L2(Ω))

(23)

u∈L2((0,T)×Γ)

(24)

于是,根據文獻[5]中的引理2.4,有

(25)

第三步(估計R2) 為了估計R2,先把u限制在L2((0,T)×Γ)的具更高光滑性的稠密子集中:

u∈C2((0,T)×Γ),u(x,0)=u(x,T)=0

在R2中,對t進行分部積分,得

(26)

由式(24)和(26),得

(27)

第四步(估計b0,T) 由式(24),得

(28)

最后,從式(22)、(25)、(27)和(28),結合式(8),知式(16)成立。證畢。

第二個結果是系統(6)的正則性。

定理2系統(6)是正則的,并且其直接傳輸算子為零。確切地說,如果w(·,0)=wt(·,0)=0,且u(·,t)=u(·)∈U是一個階躍輸入,則相應的輸出y滿足

由于系統(6)是適定的,根據文獻[18]的附錄,系統(6)的傳遞函數為:

(29)

進而,由定理1宣稱的適定性還意味著存在正常數M,α>0[17],使得

(30)

的解uε滿足

(31)

則定理2成立。

證明只需證明在U的強拓撲下,H(λ)u沿著正實軸趨向于零[19],即對于任意的u∈L2(Γ)=U,有

則vλ滿足

(32)

和

(33)

的唯一解,則式(32)可化為:

或

-iλ

因此,式(33)就成為:

(34)

令vε(x)=vλ(x),即ε=λ-1,并取極限ε→0,則由式(34)知命題成立。

定理2的證明由命題1,只需證明式(31)。從式(30)的邊值條件易得式(31)成立。證畢。