一“式”到底，逆向思維中求厚度
——“長方形、正方形周長和面積的復習”教學實踐與思考

浙江省義烏市實驗小學教育集團 李玉冰

“周長與面積”是平面幾何圖形學習的重要部分。相較于數的認知，“周長與面積”知識較為抽象。部分學生無法有效區分周長與面積，究其原因在于未明晰周長與面積的本質意義。教學時，學生容易進入周長與面積混淆的怪圈。因此，“長方形、正方形周長和面積的復習”教學需要以一種新穎的方式，簡化學生對周長和面積的理解。一“式”到底，是以逆向思維的視角引領學生深入探索周長與面積的本質，通過拆解算式在周長與面積中的內涵，幫助學生深度構建平面幾何意義，初步培養學生“數形結合”的思想，為之后平行四邊形、梯形等平面幾何的學習做鋪墊。

一、一“式”到底，逆向思維中認知差異

學生的思維能力培養并不是一蹴而就的。在平時的課堂教學中，教師要有目的、有計劃、有層次地實施，并且要遵循由淺到深、由易到難、由具體到抽象的原則，讓學生在學習過程中受到潛移默化的影響。筆者認為，逆向思維的教學視角更需要創設合適的問題情境，以算式為載體，引領學生在課堂中尋得差異、認知差異。

教學片段一：

師：（出示課件）同學們，看到“6×4=24”這個算式，你們想到了什么？我相信很多同學腦海中已經浮現許多畫面，大家可以選擇其中的兩個畫在方格紙上，開始行動吧!

生1：我畫的是長為6格、寬為4格的長方形，算式代表長方形的面積。

生2：可以在長方形中添加斜線，更清楚地表示出面積。

生3：還可以標注長和寬的數據。

師：同學們的建議非常寶貴！這位同學的作品，老師不是太明白，誰能給我解釋下呢？

生4：算式表達的是正方形的周長，正方形有4條邊長，每條邊長為6。

師：非常好！可見算式“6×4=24”既可以表示周長，又可以表示面積。那是否意味著周長和面積是一樣的呢？

生1：不一樣。周長表示外面的一圈，面積表示內部大小。

生2：周長是線的長度，面積是面的大小。

師：只根據算式，我們還是很難區分的，有更好的方法快速識別二者之間的差異嗎？

生：可以在算式后面加單位。

師：這個想法非常好！加什么單位呢？

生：周長加長度單位，如厘米、分米、米等；面積加面積單位，如平方厘米、平方分米、平方米等。

師：所以，我們可以在24的后面加上周長的單位，如cm；或加上面積的單位，如cm2。

師：請同學們想一想，還能推出什么樣的信息？

生1：正方形的面積為6×6=36cm2。

生2：長方形的周長為（6+4）×2=20cm。

周長與面積的差異是線與面的差異，一“式”到底的數學教學，引導學生將算式與長方形、正方形的周長和面積相聯系，將周長和面積的抽象意義剖析成具體的教學實例，幫助學生更高效地理解周長與面積的本質差異，以要求學生畫出兩種圖的教學設計，避免學生的想象力局限于長方形的面積上，有效激發學生呈現多元化的發散思路表示算式的幾何意義。

二、一“式”到底，逆向思維中探索變化

教師在教學中，要以學生已有的知識經驗為基礎，鼓勵學生從多種角度思考解決問題的方法，引導學生在不同的思維中探索變化，將算式思維引入平面幾何中，在解決問題的過程中引導學生提煉和整理所涉及的解題策略和基本思想方法。

教學片段二：

師：看到“6×4-3×2=18”，同學們又能想到什么？

生1：長為6、寬為4的長方形的長剪掉3，寬減掉2。

生2：不對，應該是在長為6、寬為4的長方形上剪掉一個面積為6的新圖形。

師：剪掉的新圖形可能是什么形狀呢？

生2：可能是“6×1”的長方形，可能是“3×2”的長方形。

生3：也可能是6個分開的“1×1”的正方形。

師：（出示課件）老師準備了“6×4”和“3×2”的長方形，同學們來試著擺一擺。（巡視搜集有代表性的作品，呈現于黑板上）（見圖1）

圖1

師：黑板上呈現了許多創意作品，我們是不是可以將它們分分類，四人小組討論交流。

生1：依照小長方形擺放的位置將作品分為橫、豎、斜三類。（見圖2）

圖2

生2：根據小長方形在大長方形上的位置將作品分為內部和邊兩類。（見圖3）

圖3

生3：我覺得上一個分類還可以繼續細化，分為角、邊、內部三類。（見圖4）

圖4

生4：根據新圖形周長的變化，可將作品分為變和不變兩類。（見圖5）

圖5

生5：我認為小長方形在內部時，周長沒有發生變化。

師：看來，同學們對于剪掉后圖形的周長到底有沒有變化存在分歧。我們留下三個圖形（見圖6），同學們可以畫一畫、算一算它們的周長，小組交流后和老師分享下答案。

圖6

生1：我利用平移的方式，一眼就看出①號圖形周長不變，還是20cm。②號圖形平移后多出左右兩條，周長是20+2×2=24cm。③號圖形小長方形在內部，周長也不變，也是20cm。

生2：我們組認為③號圖形周長變長了，因為內部這塊被剪掉了，是露在空氣中的，我們要求周長的圖形其實是那個像“回”字的紅色部分的圖形，內部也算圖形的邊緣。

師：同學們都非常善于思考，③號圖形周長與內部畫圖形是有區別的，邊緣線明顯變多，周長也會變大。除了周長的變化，你們還有什么發現呢？

生1：周長不同，面積相同。

生2：角上剪，周長不變；邊上剪、內部剪，周長變長；內部剪，周長變最長。

師：非常好！通過探索我們可以發現，面積相等的圖形，周長未必相等。

教師以新算式為教學素材，將學生引至另一個獨特的視角，深入探究周長與面積的知識本質。通過自主實踐探索以及小組討論的教學形式，教師成功將學生從算式思維引入平面幾何認識中，要求學生擺一擺、算一算、分一分，以強化對周長和面積變化知識的理解。由于周長和面積變化知識較為抽象，利用擺小長方形的形式更清晰、直觀地呈現出新圖形周長和面積的變化，學生也能深入理解算式背后深層的幾何含義。

三、一“式”到底，逆向思維中強化理解

數學核心素養來自學生的思考、質疑，教師應在課堂中引導學生不斷反思，帶著問題去思考、去探究，去強化對知識的理解，進行多角度的觀察與聯想，從而找到更多的思維通道，促進學生的思維生長。

教學片段三：

師：（出示課件）我們來玩連一連的小游戲。看一看哪些圖形可以用“6×4+3×2=30”來解決。（見圖7）

圖7

生1：5種圖形都可以用“6×4+3×2=30”這一算式計算。圖形A、C、E計算的是面積，圖形C需要利用平移將右上角的小長方形移到左邊，圖形B、D計算的是周長。

生2：如果可以平移，圖形B還可用“6×4+3×2=30”這一算式計算面積。

師：對比圖形A、C、E，你們有什么發現呢？

生1：面積相同，圖形A、C的周長相同，圖形E的周長最長。

生2：面積相同時，周長不一定相同。

師：對比圖形B、D，你們又有什么發現呢？

生1：“凹”和“凸”這兩個圖形的周長都可以用“6×4+3×2=30”這個算式來計算。

生2：周長相同時，面積不一定相同。

教學片段四：

師：想象一下，老師給你一條繩子，圍成什么圖形時，面積最大？

生：正方形。

（播放動態視頻）

師：看完后，你學到了什么？

生：圓的面積最大。

師：有沒有前提？

生：在周長相等的情況下，圓的面積最大。

師：在周長相等的情況下，或許還存在一個比正方形面積更大的圖形等著我們去研究。到六年級的時候，老師陪你們一起研究這個圖形的周長和面積！

強化知識理解是對“周長不同，面積相同”知識的拓展延伸。新的算式教學形式，對學生逆向思維提出了新要求。學生需要套用之前的探究方法，在多變的圖形中尋求周長和面積的意義，總結出新的結論知識，并靈活應用新知識。同時，繩子圍面積的教學案例，進一步強化學生對“周長相同，面積不同”的新知理解，并引導學生拓展認知：在周長相等的情況下，圓的面積是最大的。教師巧妙應用視頻的動態性特點，在活躍教學氣氛的同時，引發學生對周長和面積相關知識的深入思考。

四、結語

算式的選取不是憑空而生的，而是基于長方形、正方形面積和周長的特殊性之上的。一“式”到底的教學形式，始終聚焦長方形、正方形的周長與面積，引導學生在觀察、探索、發現中探尋周長、面積的意義。與常規教學不同的是，一“式”到底并未重點強調面積公式的意義，而是利用算式的特殊性，要求學生逆向思維構建算式與幾何圖形的意義，引導學生從逆向思維中認知平面幾何的奧妙。

“算式”與“圖形”的結合，是一種創新的教學形式，打破教師對平面幾何教學的固有認知，讓學生在“數”與“形”中感知數學知識。一“式”到底的教學實踐，本質在于培養學生“數形結合”的數學思想，具象化周長與面積的抽象意義。教學中，對于三個不同的數學算式，教師從認知差異、探索變化、強化理解等三個不同的視角一步步引導學生探究周長和面積的深層內涵，由簡至繁，促使學生在畫一畫、擺一擺、算一算中進一步加深對周長與面積的理解。一“式”到底的教學，給予學生一定的數學學習啟迪，啟迪學生在平面幾何的認知中利用數簡化知識理解。

一“式”到底教學的最大亮點在于用最少的學習素材上出有厚度的課堂，鍛煉學生的逆向學習思維，巧妙抓住數學的本質。