一道開放性橢圓試題的探究與推廣

欒功

摘 要：文章通過對一道開放性橢圓模考題的解法探究，得到了試題揭示的內在規律，并通過變式探究進一步解釋了試題中其他兩個性質成立的條件，為圓錐曲線中定點定值問題教師的教和學生的學提供了參考.

關鍵詞：開放性試題；圓錐曲線；定點定值

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）34-0041-05

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在高考命題建議中明確提出：命題時，應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識［1］.這一指導思想在近兩年的各類考試命題中也得以體現，且較多集中在以數列和解三角形等知識為背景的結構不良問題上.而2022年一次西南大聯考中圓錐曲線大題一改往日常態，以開放的探究型問題呈現，不論是試題的知識背景還是問題的呈現形式，都給考生耳目一新的感覺.

1 試題呈現

題目 （2022屆“3+3+3”高考備考診斷性聯考）點M是圓A：x2+y+12=16上任意一點，點B0，1，線段MB的垂直平分線交半徑AM于點P，當點M在圓A上運動時.

（1）求點P的軌跡E的方程；

（2）BQ∥x軸，交軌跡E于點Q（點Q在y軸的右側），直線l：x=my+n與E交于C，D兩點（l不過點Q），且CQ與DQ關于BQ對稱，則直線l具備以下哪個性質？證明你的結論.①直線l恒過定點；②m為定值；③n為定值.

分析 試題第（1）問考查了圓的簡單幾何性質與橢圓的定義，體現了試題的基礎性；第（2）問以圓錐曲線共軛弦性質為背景設計了與動直線l有關的開放型問題，給考生創設了自主思考的情境，便于考生多角度、開放地思考問題，試題考查考生獨立地對問題提出見解并進行論證的能力，綜合性強，對學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養都有較高的要求.

通過變式探究發現，當直線QC，QD的斜率之和、之積為非零常數時，直線CD恒過定點，同樣也有一般性結論，在此不再一一羅列，感興趣的讀者可以進一步地發散思考與探究，在嘗試提出更高探究性問題的過程中歷練更高層次的思維，形成更深刻的理解和感悟.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李 璟］